Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 16

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 283 >> Следующая

Определение 2. Если существует правый (левый) предел разностного отношения (1) при Ах —»0, Ах>0 (Ах<ОJ, то он называется правой
(левой) производной функции / в точке х = х0 и обозначается f'(x0 - 0)
(f'(xо + 0) )¦ Правая и левая производные называются односторонними производными.
Поскольку производная и односторонние производные функции определяются через понятие предела, то из теоремы 1 § 4 об односторонних пределах следует
Теорема 1. Для существования производной функции в данной внутренней точке х0 е D необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали правая и левая производные функции / и они были равны между собой. В этом случае f'(x0 + 0) = f'(x0 - 0) = /'(х0).
Если функция / имеет в данной точке x0e(a,b) производную (конечную или бесконечную), то существует касательная к графику функции / в соответствующей точке М0 = (х0, /(х0)). Если при этом производная /'(х0) конечна, то уравнение касательной имеет вид
если же f'(x0) = -°°, + °°, °°, то вертикальная прямая х = х0 является касательной к графику функции / в точке М0. Следовательно, конечная производная f'(x0) функции / в точке х0 представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции / в точке (х0, / (х0)). В
этом состоит геометрический смысл понятия конечной производной функции в точке.
Итак,
/(Хр+Ах) —/(х0) Ах
(2)
У-/(х0) = /'(х0)(х-х 0),
Можно показать, что скорость v(t) движения материальной точки в данный момент времени t, т.е. мгновенная скорость, есть производная от пути по времени s'(t): o(t) = s'(t). В этом заключается механический смысл понятия производной функции в точке.
Если функция / в каждой точке х промежутка D имеет производную
(причем на концах а и b промежутка D, если они принадлежат D, понимаются соответствующие односторонние производные), то эта производная представляет собой новую функцию, определенную на D; ее обозначают через /' и называют производной функцией, или просто производной.
Определение 3. Функция / называется дифференцируемой в точке х0 е D, если приращение Ду функции / в этой точке имеет вид Ду = Д f(x0) = А- Дх + or(Дх) Дх, где А = А(х0) не зависит от Дх, а {Ах) - бесконечно малая функция при Д х —^ 0.
Теорема 2. Для того чтобы функция / была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Из теоремы 2 следует, что только для дифференцируемых функций справедливо равенство
Ду = Д/(х0) = f'(x0) Дх + ог(Дх) Дх, (3)
где lim а(Дх) = 0.
Д*->0
Определение4. Линейная относительно Дх часть приращения (3) дифференцируемой в точке х0 функции / называется дифференциалом функции f в точке х0 и обозначается символом
dy = df(x0) = f'(x0)Ax. (4)
Если у = /(х)-х, то dy-dx = 1-Дх = Дх, поэтому формула (4)
принимает вид
df(x0) = f'(x0)dx.
Следствие. Если функция / дифференцируема в точке х0 е D, то она
и непрерывна в этой точке.
Справедливость данного утверждения следует из (3): lim Ду = lim Д f(xn) = 0.
Ах—>0 Ах—>0
Тогда на основании определения 4 § 5 функция / непрерывна в точке х0. Отметим, что обратное утверждение неверно. В качестве контрпримера
рассмотрим функцию /(х) = | х |, которая в точке х = 0 непрерывна, но в то же время в точке х = 0 не имеет производной, т.е. недифференцируема. В самом
3-5026
33
деле, вычислим односторонние производные функции в точке х = 0:
А у Ах _ А у -Ах ,
lim -----= lim -----= 1; lim —— = lim -----------= -1.
Д.г-»0+0 Дд; Д*-»0+0 Д^? Д*-»0-0 Дд; Дд:-»0-0 Д х
Отсюда в силу теоремы 1 функция у = | х | в точке х = 0 не имеет производную, следовательно, она в этой точке недифференцируема.
Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна. Следовательно, множество дифференцируемых функций является собственным подмножеством множества всех непрерывных функций.
Отметим некоторые свойства дифференцируемых функций.
Теорема 3. Если функции fug, заданные на промежутке D = < а, Ъ>,
дифференцируемы в точке х е D, то их сумма, разность, произведение и частное (при условии g(x) ф0) дифференцируемы в точке х и при этом справедливы формулы:
[f(x)±g(x)Y = f’(x)±g’(x)-,
[/О) • g(x)]' = f'(x)g(x) + /(x)g'O);
/О)
g(x)
Теорема 4 (дифференцируемость сложной функции). Если функция (р{х) дифференцируема в точке х0 е D =< a, b >, а функция f(u)
дифференцируема в точке и0 =<р(х0)еЕ(р =q>{D), то сложная функция y = f[<P(x)\ дифференцируема в точке х0 е D и ее производная вычисляется по формуле у (х0) = /' (<р (х0)) • <р' (х0).
Теорема 5 (дифференцируемость обратной функции). Если функция у = fix) дифференцируема в точке х0 е D, /'(х0) ф 0, и в некоторой
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed