Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 13

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 283 >> Следующая

х—>а х-а—> 0 Лх—>0 Дх->0
Отсюда следует
Определение 4. Функция /(х) называется непрерывной в точке а, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Определение 5. Функция /(х) называется непрерывной в точке
a е Df справа (слева), если в этой точке существует предел справа (слева) и он равен значению функции в точке a, т.е.
lim /(х) = /(а + 0) = /(а) ( lim Дх) = /(а - 0) = /(а) ).
х—>а+0 л—»а-0
Из теоремы 1 § 4 следует, что для непрерывности функции y = f(x) в точке а необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной в этой точке справа и слева, т.е.
f (а + 0) - f (а - 0) = f (а) . (2)
Определеннее. Функция y = f(x) называется непрерывной на множестве Df, если она непрерывна в каждой точке этого множества, т.е. для любого a е Df: lim/(х) = /(а) .
' х—>а
В силу того, что limx = а , равенство (1) можно переписать в виде
Х—Ьй
lim/(х) = /(limx) .
Отсюда вытекает, если функция / непрерывна в точке, то возможен переход к пределу под знаком функции /. Этот факт очень часто находит применение при вычислении пределов.
24
Определение 7. Функция y = f(x) называется разрывной в точке
as Df, если в этой точке она не является непрерывной. При этом точку a
называют точкой разрыва функции / и говорят, что в точке а функция / терпит разрыв.
Другими словами, в точке разрыва функции либо не существует предел функции, либо он существует, но не равен значению функции в этой точке, то есть нарушены равенства (2).
Пример 1. Показать, что функция у = sinx непрерывна на множестве R .
Решение. Пусть a - любая, но фиксированная точка из R. Оценим следующую разность:
smx-sma -
2 sin
cos
= 2
sin
Х-й
У
cos
x + a
У
Поскольку J cos/ j < 1 и [ sin/1 < I / ( при любом t g R , то имеем
x-a
sin x - sin a < 2
= \x — a , или по-другому Л у = A sin а < Лх .
Отсюда вытекает, что
lim Ay = lim A sin а = 0.
Дх—>0 Дх—>0
Тогда на основании определения 4 следует непрерывность функции >> = sinx в точке aeR. В силу произвольности точки а из R вытекает
непрерывность функции синус на множестве R .
Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию
sinx
/« =
2 , х = О
в точке х = 0.
Решение. Областью определения данной функции является R. Как
sinx
известно, существует предел lim /(х) = lim-------= 1, но он не равен /(0) = 2 .
х-»0
л—>0
Следовательно, эта функция в точке х = 0 терпит разрыв, т.е. не является непрерывной.
Далее отметим свойства непрерывных функций.
Теорема 1. Если функции /(х) и g(x), заданные в некоторой окрестности точки а, непрерывны в точке а, то функции f(х)±g(x),
/(x)g(x) и
fix)
g(x)
(g(a) ф0) непрерывны в точке а.
Теорема 2 (непрерывность сложной функции). Если функция и = <р{х) непрерывна в точке a&D а функция у = f(u), заданная на множестве Е ,
непрерывна в точке <р(а) е Е(р, то сложная функция у = /[<р(х)] непрерывна в точке а, т.е.
lim/|>(x)] = f[<p(a)] = /[limp(x)] = f[<p{ limx)].
x—>a x-^a x-+a
Эту теорему кратко читают так: непрерывная функция от непрерывной функции есть непрерывная функция.
Пример 3. Доказать, что функция у = sin(x2 +9) непрерывна на R .
Решение. В самом деле, функция у = (р{х) = х2+ 9 как многочлен непрерывна на R , а функция у = f(u)-sinu в силу примера 1 непрерывна на R. Тогда сложная функция у = sin (х2 + 9) на основании теоремы 2 непрерывна на числовой прямой R .
Теорема 3 (первая теорема Больцано - Коши). Если функция у = /(х) непрерывна на сегменте [а, Ь] и принимает на его концах значения разных знаков, то в интервале (a,b) найдется хотя бы одна точка с, в которой функция обращается в нуль: /(с) = 0.
Эта теорема имеет простой геометрический смысл: график непрерывной на [а,Ь~\ функции, принимающей на концах этого сегмента значения разных знаков, пересечет ось абсцисс по крайней мере в одной точке (рис. 3).
Теорема Больцано - Коши имеет важные практические применения. Во-первых, эта теорема устанавливает существование корней некоторых классов уравнений. Пусть дано уравнение /(х) = 0, где /(х) непрерывная на промежутке <а,Р>, где а < (5 , а,Р е R kj {-со, +со} . Символ <а,Р> представляет собой общее обозначение промежутка числовой прямой, который есть либо сегмент [а, /?], либо интервал (а, /7), либо полуинтервал [а, Р)
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed