Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
определенности функция / возрастает на <a,b>. Поэтому /(с) </(с + 0) < f(x) для всех х> с. А это означает, что интервал (Дс),/(с + 0)) с: Ef не содержит значений /(х) , чего быть не может, так как является промежутком. Полученное противоречие и доказывает теорему.
§ 6. Обратная функция. Существование и непрерывность обратной функции
Пусть функция y = f(x), заданная на множестве X, обратима. Это значит, что функция / различным значениям аргумента ставит в соответствие различные значения функции, т.е. для любых х1гх2 е X
Х1 *Х2 =>/(*!)* /(*2) •
В этом случае для каждого у е Y = f(X) существует один и только один
элемент х е X такой, что y = f(x). А это означает, что на множестве Y
определена функция g: Y -» X, которую и называют обратной к функции
у - /(х) и обозначают символом х = f~l (у). При этом очевидно, что функция
/ является обратной к f~x. Поэтому функции y = f(x) и х = /~\у)
называются взаимно обратными. Таким образом, если функция f:X—>Y, где
Y = f(X), обратима, то для нее существует единственная обратная функция
/”’ :Y —> X и если у = f(x) , то х = (у) , и если х = /~' (у), то у = /(х)
и /“' [/(х)] = х при любом х е X , /[/”' (у)] = у при любом yeY.
Переход от функции y = f(x), хеХ, к обратной ей функции
х = f~\y), yeY (если она существует), сводится лишь к изменению ролей
множеств X и 7. Поэтому графики функций у = /(х) и x = f~\y) на
плоскости XOY совпадают. Но обычно и для обратной функции аргумент обозначают через х, а значение функции через у , т.е. записывают ее в виде
у = Г\х), xeY. Тогда график функции у = /_1(х) получается из графика прямой функции у = f(x) с помощью преобразования плоскости XOY, переводящего каждую точку (х,у) в точку (у,х), т.е. симметрией относительно прямой у = х.
Теорема 1. Если функция y = f(x) строго возрастает (убывает) на множестве X, то для нее существует обратная функция х = /_1 (у), которая определена на множестве Y = f{X) и является на Y строго возрастающей (убывающей).
Доказательство. По условию функция / строго возрастает на множестве
X. Это значит, что для любых х,,х2 е X и х, <х2 следует /(х,)</(х2). Отсюда вытекает, что функция / обратима на X, следовательно, для нее существует обратная функция /~’ : Y —> X. Покажем, что функция /"' строго возрастает на множестве Y. Пусть ух и у2 - любые точки из Y и ух<у2-Докажем, что х, = f~l(yx)<x2 = /“'{у2) . Допустим, что х, >х2. По условию функция f строго возрастает на X, поэтому из условия Х\ > Х2 вытекает
неравенство ух = f(xl)>y2 = /(х2) , что противоречит условию yt <у2.
Таким образом, условие строгой монотонности функции является достаточным для существования обратной функции.
Теорема 2. Если функция y = f(x) строго возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке <a,b>, то существует обратная функция х = /-1 (у), которая определена на промежутке Еf — f (< a,b >) и является на Ef строго возрастающей (убывающей) и непрерывной.
30
Доказательство. По теореме 1 на множестве Ef определена обратная функция x = f~l(y), и она там является строго возрастающей (убывающей). Остается обосновать непрерывность функции /“' на Ef . По условию функция / непрерывна на <а,Ь>. Тогда в силу следствия из второй теоремы Больцано - Коши множество Ef является промежутком. Итак, функция /“' строго монотонна на Ef и Еf есть промежуток. Тогда в силу теоремы 7 § 5
функция f~x: Ef-+<a,b> непрерывна на Ef . Что и требовалось доказать.
Отметим, что теорема 2 имеет большое значение для обоснования существования и непрерывности обратных элементарных функций. Например,
функция у = /(х) = х3 непрерывна и строго возрастает на R . По теореме 2 на
промежутке Ef=f(R) = R определена обратная функция х = f~\y) =\[у ,
которая на Ef=R строго возрастает и непрерывна. График обратной функции
у = \[х получается из графика прямой функции у = х3 симметричным отображением относительно прямой у = х (рис. 6).
§ 7. Производная, дифференцируемость, дифференциал функции
Пусть функция у = /(х) определена на промежутке D =<а,Ь>, пусть х0 - фиксированная, внутренняя точка промежутка D, т.е. х0 е (а, b), и придадим ей любое приращение Ах^О так, чтобы х0+ДxeD. Вычислим соответствующее приращение функции в этой точке
Ау = Д/(х0) = /(х0 +Дх)-/(х0).
Составим соотношение
А у __ Д f(x0) __ /(х0 + Аде) - f(x0)
(1)
Ах Ах Ах
Ах
которое называется разностным отношением. Поскольку точка х0 фиксирована, то разностное отношение (1) представляет собой функцию от переменной Ах. Эта функция определена для всех значений аргумента Ах, принадлежащих некоторой достаточно малой выколотой окрестности точки Ах = 0.
Определение 1. Если существует предел разностного отношения (1) при А х —> 0, то он называется производной функции / в точке х0 и
обозначается символами: f'(x0) или у'(х0) ¦
В полной аналогии с понятиями правого и левого пределов функции в точке вводятся понятия правой и левой производной функции в точке.
