Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
2. Если из двух чисел а и b одно неотрицательно, а другое отрицательно, то естественно, будем считать, что неотрицательное число больше отрицательного.
3. Пусть оба действительные числа а и b отрицательны. Тогда будем считать, что а>Ъ, если -а <~Ь и а <Ь , если -а>—Ь.
Отметим, что приведенное выше правило сравнения действительных чисел обладает следующими свойствами:
а) а = а \
б) если а = b, то Ь-а \
в) если а-b и Ь = с ,то а = с\
г) если а>Ъ и Ъ>с , то а> с .
3. Ограниченные подмножества множества действительных чисел
Пусть X - некоторое произвольное подмножество множества R .
Множество X называется ограниченным снизу (сверху), если существует действительное число а ф) такое, что каждый элемент х множества X
удовлетворяет неравенству: а < х (х<Ь). При этом числа а и b называются соответственно нижней и верхней границами множества X. Очевидно, что если b является одной из верхних границ множества X, то любое действительное число b' > b также является верхней границей X. Аналогично, если а -нижняя граница X, то всякое действительное число а' < а тоже является нижней границей множества X .
Множество X называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, то есть существуют действительные числа а и b такие, что любой элемент х множества X удовлетворяет неравенству а<х<Ъ.
Множество X, не являющееся ограниченным, называется неограниченным.
Например, множество N ограничено снизу, но не ограничено сверху; множество Z неограничено и снизу и сверху. Множество
V 11 1 1 1 1
л =s 1, —, —,, ... > ограничено сверху и снизу.
[23 п )
Наименьшая (наибольшая) из всех верхних (нижних) границ ограниченного сверху (снизу) множества X называется точной верхней (нижней) границей или верхней (нижней) гранью множества X и обозначается символом sup X (inf X) или по-другому, действительное число М (т) называется точной верхней (нижней) границей множества X , если выполнены два условия:
1)любой элемент х множества X удовлетворяет неравенству х<М
(т<х)\
2) для любого действительного числа е > 0 найдется элемент xf е X такой, что х' > М — ? (х < т + е ).
Например, если X = (0, 2], то sup X = 2, inf X = 0.
Справедлива следующая очень важная
Теорема 1. Если множество X непустое и ограничено сверху (снизу), то у этого множества существует sup X (inf X).
4. Приближение действительных чисел рациональными
Любое действительное число можно приблизить с любой степенью точности рациональными числами. Рассмотрим действительное число а (пусть для определенности a > 0 )
a = aQ, ax a2... an... . (5)
Рациональные числа rn = a0, щ a2... an и r'n - a0, ax a2... (an +1)
называются десятичными приближениями (первое с недостатком, а второе с
избытком) с точностью 1СГ" действительного числа (5). В силу определения сравнения действительного числа имеем
a0, aia2...an <а<а0, ах а2 ...(ап +1) = а0, а1а2...ап+10_". (6)
Из (6) следует, что действительное число (5) можно с наперед заданной точностью приблизить рациональными числами, так как для любого ne N0
построим два рациональных числа гп и г'п такие, что rn<a <г'п и
г' -г =10“”.
П П
На основании правила сравнения и приближения действительных чисел рациональными числами можно доказать, что между двумя произвольными различными действительными числами а и b всегда существует рациональное число, заключенное между ними, следовательно, найдется бесконечное множество различных рациональных чисел, лежащих между а и b. Такое свойство множества действительных чисел называется свойством его плотности.
Используя рациональные приближения действительных чисел, можно для действительных чисел ввести операции сложения и умножения и изучить известные свойства этих операций. Для примера, суммой двух действительных чисел а и b называется такое действительное число с = a+b, которое для любых рациональных чисел гх, г/ , г2 и г2 , удовлетворяющих соотношениям
rx < a < г/ и r2<b< г2 , удовлетворяет неравенствам гх+г2 < с < г/ + г'г .
На основании теоремы 1 можно доказать, что для любых действительных чисел а и b существует единственное действительное число с, которое является их суммой.
Важным следствием введения иррациональных чисел является тот факт, что каждой точке числовой оси единственным образом соответствует некоторое действительное число и наоборот. Данное свойство множества R называется
свойством непрерывности или полноты множества действительных чисел, что позволяет не делать различия между понятиями «действительное число» и «точка числовой оси».
§ 2. Числовые функции
Пусть X - произвольное числовое множество, т.е. 1сй. Если каждому числу х из X по некоторому правилу / поставлено в соответствие единственное число у, то говорят на множестве X задана или определена числовая функция, которую записывают в виде
