Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 9

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 283 >> Следующая

y = f(x), хеХ. (1)
При этом множество X называют областью определения функции и
обозначают D(f) = Df , т.е. X = Df. В записи (1) х называют аргументом или
независимой переменной, а у - зависимой переменной. Числа х из Df называют значениями аргумента. Число у0, соответствующее значению x0eDf, называют значением функции при х = х0 и обозначают /(х0), т.е.
Уо = f (хо) = f (х) х=х0 ¦ Совокупность всех значений, которые функция принимает на множестве Df, называют множеством значений функции и обозначают E{f)- Ef, т.е.
Ef ={/(*) \xeDf}.
Функцию часто обозначают только символом / {g, (р, F и т.д.), который определяет правило соответствия. Иногда используют и такие записи: х f(x) , /: X —» R .
Функции / и g называются равными, если они имеют одинаковую
область определения Df =Dg и для любого значения xeDf значения f(x) и
g(x) равны : f(x) = g(x).
Пусть функции / и g определены на одном и том же множестве X. Тогда функции, значения которых в каждой точке хеХ равны f(x) + g(x),
f (х)
f(x)~ g(x), / (x)-g (x) , ---- (g (x) Ф 0), называют соответственно суммой,
g(x)
разностью, произведением и частным функций / и g, и обозначают f + g, /“?. f 'g ’ — ¦ g
С помощью арифметических действий можно построить по данным функциям новые функции. Но имеется еще другое правило образования функции из данных функций. Пусть заданы две функции y = f(u), ueDf и
u = <p(x), xeDp. Пусть каждому х из Dv посредством функции ср ставится в
соответствие значение ие Df, то есть Е(р с; Df. Тогда функцию,
принимающую при каждом xeDv значение F (х) = f(cp(x)), называют
сложной функцией, или композицией функций / и (р, или функцией от функции. Например, функция
у = 2sinx, xeR,
является примером сложной функции, так как она представляет композицию двух функций у = 2", и = sin х, xeR.
Функция /, заданная на множестве X, называется:
а) четной, если для любого хеХ выполняются условия -хеХ и /(-*) = /(*);
б) нечетной, если для любого хеХ выполняются условия -хеХ и /(-*) = -/(*);
в) ограниченной снизу (сверху), если существует число А (В) такое, что при всех хе X выполняется неравенство A<f(x) (/(*)<5);
г) ограниченной, если она ограничена снизу и сверху, т.е. существуют действительные числа А и В такие, что при всех хе X выполняются неравенства A<f(x)<B\ в этом случае вместо двух постоянных А \л В
достаточно рассмотреть одну постоянную К = шах { | А |, | В |} , тогда при всех
хе X справедлива оценка - К <f(x)<K или | f{x) | < К ; поэтому функцию
/ назовем ограниченной на X, если существует число К> 0 такое, что при
всех хе X справедливо неравенство j f(x) j < К ;
д) возрастающей или неубывающей, если для любых точек хх,х2еХ таких, что Xj < х2 следует неравенство /(х,
е) строго возрастающей, если для любых точек х{,х2еХ таких, что х, <х2 следует неравенство /(х, )</ 02);
ж) убывающей или невозрастающей, если для любых точек хих2еХ таких, что Xj < х2 следует неравенство /(х,
з) строго убывающей, если для любых точек х{, х2 е X таких, что х1 < х2 следует неравенство /(Xj
и) периодической с периодом Тф 0, если для любого хеХ выполняются условия: х±Т е X и Дх + Т) = /(х).
Отметим, что если Т - период функции /, то каждое число вида кТ, где keZ, кФ 0, также является периодом этой функции. Наименьший среди положительных периодов функции / (если такой существует) называется ее
основным периодом. Например, число 2л - основной период функций sinx и cosx, а л - основной период функций tgx и ctgx.
§ 3. Последовательности. Предел последовательности
Функции, областью определения которых является множество N натуральных чисел, называются последовательностями. Иными словами это означает, что каждому натуральному числу пе N по некоторому правилу /
поставлено в соответствие число /(я). Значение f{ri) называют п- м или
общим членом последовательности /. Обычно вместо /(и) пишут /и, или ап,
или хп и т.п. Последовательность с п - м членом ап будем обозначать (ап).
Поскольку числовая последовательность - частный случай функции, то многие понятия, введенные выше для функций - ограниченность, неограниченность, монотонность - переносятся на последовательности.
Последовательность называется:
а) ограниченной снизу (сверху), если существует число А (В) такое, что при всех пе N выполняется неравенство А<ап (ап < В У,
б) ограниченной, если она ограничена снизу и сверху, т.е. существуют действительные числа А и В такие, что при всех пе N выполняются неравенства А<ап < В, или по-другому, существует число К > О , такое, что
при всех пе N справедливо неравенство | ап \ < К ;
в) неограниченной, если для любого числа К > 0 существует номер п0 такой, что а„ > К ;
«О
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed