Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
3 Коши Огюстен Луи (1789 - 1857) - французский математик.
2- 19
Пусть функция у- /(х) определена в некоторой окрестности точки а , за исключением, быть может, самой точки а .
Определение 1. Число b называется пределом функции у=т в точке а, если из того, что х стремится (приближается) к точке а, не достигая ее, следует, что /(х) стремится к b. Этот факт записывают символом
lim / (х) = Ь.
х->а
В приведенном определении предела с формальной точки зрения не ясно, что значит х стремится к а или /(х) стремится к b . Поэтому в курсе анализа дают следующее
Определение 2. Число b называется пределом функции /(х) в точке a, если для любого наперед заданного числа ? > 0 найдется число 8 > 0, такое, что при всех х Ф а и удовлетворяющих неравенству \х — а\ <д, следует неравенство
| f(x)-b\<?.
В этих определениях заметим, что сама точка а исключается, рассматриваются точки из области задания функции /(х) , отличные от a . Это требование вызвано тем, что функция /(х) может быть не определена в точке а. Например, функция /(х) = sinx/x определена при всех х, за исключением нуля, и имеет предел при х —> 0, равный 1:
х
Определение 3. Если существует предел функции /(х) при х —»• а и х> а (х <а), то такой предел называется пределом функции / (х) в точке а справа (слева). Их соответственно обозначают
lim /(х) = lim /(х) = f(a + 0) , ( lim /(х) = lim /(х) - f(a - 0)).
x->a, x>a х-»а+0 x->a, x<a х-»а-0
Эти пределы называются односторонними.
Теорема 1. Для существования предела функции /(х) в точке а, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали односторонние пределы функции / (х) и они были равны между собой:
f(a + 0) = f(a-0) = b. При этом число b будет пределом функции /(х) в точке a.
Наряду с определением 2 существует и другое определение предела функции, основанное на понятии предела последовательности.
Определение 4. Число b называется пределом функции /(х) в точке
a, если для любой последовательности (xn), xn е , хпФ a, сходящейся к a, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции /(х)
сходится к b.
20
Отметим, что определения 2 и 4 эквивалентны между собой. Определение 4, т.е. определение предела функции / (х) на языке последовательностей, часто используется при доказательстве факта
несуществования предела функции. Например, функция у = sin— при х —> О
х
не имеет предела. Действительно, из области определения функции Df = {х |х е R, х Ф 0} выделим две последовательности (хя) и (х'),
сходящиеся к нулю: хп -1 /пп —> 0, х'п = 2 /{л + Ann) —> 0. Тогда
/(хи) = sin— = sin^n = 0 —> 0; х.
1
/(X) “ sin— = sin
х»
fn 0 Л
—1-2 nn 2
J
Отсюда в силу определения 4 функция у = sin 1/х при х —> 0 не имеет предела.
Определение 5 (бесконечные пределы). Говорят, что функция /(х) при х —> а имеет бесконечный предел, и пишут lim /(х) = со, если для
х—>а
любого наперед заданного числа s > 0 существует число 8 > 0, такое, что при всех х Ф а и удовлетворяющих неравенству | х - a | < д, следует
неравенство | /(х) | > ?.
Аналогично, функция /(х) при х—>а имеет предел, равный +со (-со), и пишут lim/(х) = + оо (lim/(х) = - °о), если для любого ? > 0 существует
х—>а х—>а
такое S > 0, что при всех х Фа и удовлетворяющих неравенству | х - а | < 8, следует неравенство f(x)>? (f (х) < -е ).
Во всех этих случаях функцию /(х) называют бесконечно большой при х-> а. Например,
lim — = со; lim —= +оо; limtgx = + co; lim tgx = -oo
^0 X X х->*+0
2 2
Определение 5* (предел на бесконечности). Число b называется
пределом функции / при: а) х —>• со; б) х -> + со; в) х —> - со, если для
любого ? > 0 существует число 8 > 0, такое, что при всех х е Df и удовлетворяющих неравенству:
а) | х) > 8 следует | /(х) - b | < ?; б) х> 8 следует | /(х) - b | < ?;
в) х < -8 следует | /(х) — b | < ?.
В этом случае соответственно пишут:
U{a, 8)=
lim f(x) = b; lim f(x) = b; lim f(x) = b.
X-+00 x-»+oo X->~<X)
Например,
T 1 A r * n 1- * f0’ a >
lim —= 0; lim arctgx = —; lima =<
