Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
У" = ё(х, У, У'), (5.7)
для которого кривые этого семейства являются интегральными кривыми. Допустим, например, что семейство (5.6) задано и что функции, входящие в это семейство, дважды дифференцируемы. Выполняя дифференцирование, мы получим три уравнения, содержащие х, у, у', у", а и (3. Если эти уравнения совместны, то можно, вообще говоря, исключить из них а и ^ и получить уравнение вида (5.7), которому будут удовлетворять все функции (5.6).
Упражнение
Покажите, что двухпараметрическое семейство кривых, определяемое формулой у=ах®, представляет собой семейство интегральных кривых дифференциального уравнения второго порядка вида
хуу" — х (у')2 -)- у'у = 0. (5.8)
Итак, задача сводится теперь к определению функции F(x, у, у'), такой, чтобы уравнение (5.7) (представляющее собой дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяют функции заданного семейства (5.6)) служило уравнением Эйлера для соответствующего функционала /. Вернемся к уравнению Эйлера (5.5), которое теперь нужно рассматривать как уравнение для неизвестной функции F (а не для у, как раньше). Ввиду (5.7) это уравнение записывается в форме
dF _ &F _ , d*F __ &F
ду дх ду’ У ду ду' ^ (д у' )2 ( • /
Для того чтобы привести это уравнение к более удобному виду, продифференцируем (5.9) по у' и положим
(fU0>
тогда для функции М получается уравнение
4Ё+»’4?+*#—(5Л,)
представляющее собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных. При определенных условиях это уравнение может быть решено (см.г
например, [46]), и в результате для М как функции переменных х, у, у' находится явное выражение.
Полученное выражение можно теперь подставить в (5.10) и решить получающееся при этом дифференциальное уравнение второго порядка, содержащее F как неизвестную функцию. Таким образом, поставленная задача оказывается полностью решенной.
Обратим теперь внимание на то, что поскольку (5 10) — дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, его общее решение зависит в общем случае от двух произвольных функций, скажем от Х(х, у) и р,(х, у). Эти функции должны быть такими, чтобы для F выполнялось также и уравнение (5.9), а в остальных отношениях они могут быть выбраны произвольно.
При этих вычислениях мы встречаемся и с другими величинами, которые могут быть выбраны произвольно. Функция М не определяется уравнением (5.11) однозначно и в общем случае выражается как произвольная функция, зависящая от двух функций: ^(х, у у'), %(*,-*/, у') (интегралов так называемой характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующей (5.11)); следовательно, ,М = Ф(^, х)- При этом требование, чтобы для F выполнялось уравнение (5.9), в общем случае не определяет Ф однозначно. Итак, вообще говоря, существует бесконечное множество различных функций F, таких, что для соответствующего функционала / кривые семейства (5.6) служат экстремалями.
Отмеченное обстоятельство можно проиллюстрировать на простейшем примере, который будет важен для нас в дальнейшем. Допустим, что нам дано двухпараметрическое семейство прямых линий вида
y = cut-f-fi (5.12)
и требуется найти все функции F, при которых для функционала вида / эти линии являются экстремалями. Уравнение
типа (5.7), для которого функции (5.12) служат решениями,
имеет вид
у"-0, (5.13)
и при этом оказывается (подробности см. у Дарбу [45]), что М можно записать в форме
ЛГ = Ф(у', y-Jcy'), (5.14)
?де Ф — произвольная функция.
Нетрудно проверить (для этого следует использовать известный факт, который мы здесь не доказываем (см., на-
X
пример, [47]), заключающийся в том, что если Р (х) — J f(t)dt,
xi
dP \
то f(x)=—чт0 решением уравнения (5.10) в случае, когда М имеет вид (5.14), является выражение
}'
(У'~ 0ф(*. y — xt)dt-\-\(x, у)у' + ц(*, у).
о
Точно так же легко убедиться в том, что для того чтобы при выборе функции F такого вида удовлетворялось уравнение
(5.10), произвольные функции Я, (г должны быть выбраны так,
чтобы
дХ _ ф.
дх ду
Из этого условия следует, что
, __ дч _ дч
~д^’ ^~~~дх~’
где v=v(x, у) —некоторая функция от х, у, которая должна обладать соответствующими частными производными, а в остальных отношениях произвольна.
5.4. Аллометрия и принцип оптимальности
Выше было показано, что в общем случае функционалы, входящие в определяющую систему функционалов, не являются независимыми друг от друга и существуют некоторые соотношения, связывающие их значения. Предположим, что имеются два таких функционала и и и, и пусть они связаны соотношением вида f (и, у) =0 (так, например, если бы для и, v имела место аллометрия, то это соотношение записывалось бы в форме / (и, v)=u — аир=0). Допустим также для простоты, что эти два функционала полностью характеризуют рассматриваемый класс форм, на котором они заданы. .В этом случае каждая конкретная форма F, принадлежащая этому классу, характеризуется парой чисел u(F), v(F) и может быть поэтому представлена точкой на (и, у)-плоскости.
