Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
2.10. Пример
Интересно рассмотреть здесь простой пример, показывающий, как применяется уравнение Эйлера. Предположим, что нам нужно найти такую дугу у (х), соединяющую на плоскости точки (Хо, г/о) и (х\, у\), которая имеет минимальную длину. Совершенно очевидно, что решением этой задачи должен служить отрезок прямой. Из элементарного курса математического анализа известно, что длина дуги кривой у(х), соединяющей две такие точки, выражается функционалом вида
х,
J(y)= J V 1 +(У')2 dx.
Сравнивая этот функционал с выражением (2.5), мы видим, что его ядром является функция
Р(х, у, y') = Vi +(/)2-
В этом случае функция F имеет очень простую структуру, так как она не зависит ни- от х, ни от г/, а зависит только от аргумента у'. Вычисляя слагаемые, входящие в уравнение Эйлера, мы находим, что
dF ___р dF _____ у'
~ду ~ ’ ду' ~ /1 + (у')2 ‘
Уравнение Эйлера приобретает, таким образом, вид
dx \ /1 +(У')2 )
Это уравнение имеет очевидный интеграл
У1 + (/)2
(где К — произвольная постоянная), откуда следует, что
у' — const,
т. е. у=ах+Ь. Следовательно, уравнение Эйлера приводит как раз к такому решению, о котором мы говорили, а именно к прямой линии.
2.11. Некоторые обобщения. Функция Лагранжа
Материал, изложенный в предыдущих разделах, демонстрирует основные черты вариационного исчисления, хотя на самом деле многие интересные проблемы, с которыми имеет дело вариационное исчисление, и не укладываются в рамки этой простейшей схемы. Здесь достаточно будет лишь отметить некоторые важные задачи, не касаясь их детального разбора; при желании читатель сможет без труда ознакомиться с их решением более подробно по указанной ранее литературе.
Вопрос о существовании максимумов и минимумов в вариационных задачах. Как уже было сказано в разд. 2.7, тот факт, что определение компактности, данное для конечномерного случая, не переносится непосредственно на бесконечномерное пространство, указывает на то, что некоторые вариационные задачи могут и не иметь решения. Изучение критериев, которые при определенных условиях гарантируют существование решений, и методов проверки, позволяющих в ряде случаев выяснить, осуществляется ли в действительности на данной стационарной кривой минимум или нет, составляет содержание важного раздела вариационного исчисления, которому посвящена большая литература. Имеется класс вариационных задач, в которых решение в общем случае не существует, но которые могут обладать решением, если соответствующим образом сузить семейство допустимых кривых у (я), подчинив их некоторым дополнительным ограничениям. Задачи такого рода наиболее интересны и трудны, но здесь мы не имеем возможности изложить эту тему более подробно.
Задачи с подвижными границами. Многие задачи физики и математики сводятся к вариационным задачам того типа, который мы здесь рассматривали, но при этом часто приходится рассматривать такие случаи, когда пределы интегрирования в интеграле (2.5) не являются постоянными заданными числами. Так, например, задача, рассмотренная в разд. 2.10, может быть сформулирована в более общем виде, а именно, вместо того чтобы искать кривую наименьшей длины, соединяющую две фиксированные точки, можно поставить вопрос о кривой наименьшей длины, соединяющей фиксированную точку с заданной кривой или точки на двух заданных кривых. Так, скажем, принцип Мопертьюи, связанный с минимизацией действия, о котором говорилось в разд. 1.2, приводит в общем случае как раз к задачам такого типа. Эти задачи с «подвижными границами» тоже очень важны и интересны, и мы опять отсылаем читателя по этому поводу к цитированной выше литературе.
Случай нескольких независимых переменных. Другое естественное обобщение задачи, связанной с минимизацией функционала вида (2.5), состоит в постановке вариационной задачи для кратного интеграла от функции нескольких независимых переменных. Вывод уравнения, являющегося аналогом уравнения Эйлера для случая кратных интегралов1, не требует привлечения существенно новых идей, и читатель может и сам попытаться установить его, не прибегая к литературе.
Случай нескольких неизвестных функций. Задача о минимизации интеграла, ядро которого зависит от нескольких неизвестных функций и их производных, представляет собой еще одно обобщение простейшей задачи, изученной ранее, и мы должны обсудить этот вопрос здесь более подробно, так как это важно для нашего дальнейшего исследования. Функционалы такого типа имеют вид
j F(t, и, и'и и2, и'2,..., ип, и'п) dt, (2.21)
h
где «ь «2, • • ¦, ип — функции, зависящие от одной независимой переменной t. Чрезвычайная важность такой задачи связана, в частности, с тем, что гамильтоновский принцип наименьшего действия приводит как раз к подобным задачам. В этом принципе в качестве функции F выступает так называемая функция Лагранжа, роль независимой переменной t играет время, а неизвестными функциями и их производными являются
