Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если провести вывод уравнения ((2.14) вполне математически строго, то из соответствующих рассуждений будет следовать, что многочлен у, минимизирующий функционал (2.5) (если такие многочлены вообще существуют), должен удовлетворять
1 Если в действительности ограничиться функционалами, заданными только для многочленов, то уравнение (2.14) вытекает из условия обращения в нуль всех выражений (2.12), (2.13) лишь при весьма жестких ограничения^. Следует также заметить, что задача о минимизации функционала (2.5) рассматривается обычно при некоторых определенных краевых условиях; например, требуется, чтобы концы кривых, среди которых ищется экстремальное решение, были закреплены или перемещались по некоторым направляющим кривым и т. п.; можно, разумеется, рассматривать и кривые со свободными концами. В случае когда концы кривых не закреплены, к уравнению (2.14) добавляются некоторые дополнительные необходимые условия. Подробности, касающиеся затронутых здесь вопросов, см., например, в книге Гельфанда и Фомина [21]. — Прим. перев.
(2.14)
уравнению Эйлера. Ясно также, что всякая другая стационарная кривая функционала J (у) будет тоже удовлетворять этому уравнению. Следовательно, уравнение Эйлера дает нам необходимое условие, аналогичное требованию обращения в нуль первых частных производных, полученному в конечномерном случае; так-как это условие всего только необходимо, выяснение вопроса о том, соответствует ли данная стационарная кривая минимуму, или максимуму, или стационарному решению какого-нибудь другого типа, требует дополнительного иссле-' дования.
2.9. Вывод уравнения Эйлера
Будем теперь считать, что мы имеем дело с функционалом типа (2.5) совершенно общего вида, определенным на бесконечномерном пространстве. Допустим, известно, что Y (х) является стационарной кривой для J(y). Возьмем теперь определенным образом выбранное семейство функций у(х), которые образуют в некотором смысле «окрестность» У, а именно по аналогии с (2.1) положим
У(*) = П*) + е7](-*). С2-1^)
где е — произвольный (малый) параметр, а ц(х)—произвольно выбранная, но фиксированная функция, такая, что ri(^i) =
= ri(Xo)=0 (это обеспечивает условие y(x) = Y(x) на концах
х—х0 и х=хх). На этом семействе J (у) можно рассматривать как функцию одной вещественной переменной е:
X,
J (у) = /(s)= j" F (х, у, у') dx =
= j F(x, K + sy), К'+ ?7f)dx. (2.16)
*0
Допустим, что подынтегральное выражение в (2.16) можно разложить в ряд Тейлора:
F(x, У + щ, Г + щ’) = Р{х, V, К') + (вт,-^ + вЧ'-|?-) +
+ члены более высокого порядка малости относительно е.
(2.17)
Теперь из того факта, что У минимизирует J(y), вытекает, что точка е = 0 является стационарной точкой / (е), т. е.
Подставим (2.17) в (2.16) и допустим, что (2.16) можно дифференцировать под знаком интеграла; тогда
Вывод уравнения Эйлера завершается далее интегрированием по частям второго слагаемого под знаком интеграла в уравнении (2.20) с учетом того, что ri (х\) =ri (хо) =0. Эта процедура приводит к тождеству
Так как функция ц(х) выбиралась произвольно, выражение в квадратных скобках, стоящее в последнем интеграле, должно обратиться в нуль, а это как раз и приводит к уравнению Эйлера (2.14).
Приведенное доказательство позволяет также установить одно важное следствие, которое нам понадобится в дальнейшем, в частности в разд. 3.5; оно выражается следующим утверждением:
Теорема 2.7
Если значения е столь малы, что членами порядка е2 и более высокого порядка малости можно пренебречь, то тогда
I (г)—1(0) = 0 с точностью до членов высших порядков.
Доказательство
Достаточно рассмотреть соотношение (2.17), из которого и следует, что
= 0 при г = 0.
(2.18)
более высокого порядка
малости относительно е
dx.
(2.19)
Учитывая (2.18), получаем
(2.20)
/ (.) - / (0) =. f (, + у Щ dx + .«г,
где член е2Г соответствует высшим членам степенного разложения по е. Согласно (2.20), первое слагаемое обращается здесь в нуль, откуда и получается нужный нам результат.
Эта теорема допускает важную физическую интерпретацию. Предположим, что F — это сила, действующая на механическую систему, а у(х) —траектория движения системы; тогда работа, произведенная при перемещении системы из положения xq в Х\ под действием силы F, как раз равна интегралу J. Допустим теперь, что траектория Y(х) минимизирует эту работу, тогда разность 1(e)—1(0) равна разности работ, соответствующих траекториям Y(х) и у(х) = У(х)->гщ(х). По доказанной теореме, ввиду того что Y(х) —стационарная кривая, эта разность равна нулю с точностью до малых второго и более высокого порядка малости. Мы приходим, таким образом, к следующему важному заключению: бесконечно малые вариации траектории, соответствующей минимальной работе, связаны с нулевой виртуальной работой.
