Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для этого, во-первых, нужно решить вопрос о выборе подходящей оценочной функции, из условия оптимизации которой должен быть определен радиус аорты. На первый взгляд, можно как будто воспользоваться тем же функционалом (3.7), который был столь успешно применен для вычислений, связанных с разветвлением сосудов. Приходится, однако, признать, что для вычисления радиуса аорты этот функционал уже неприменим. Как уже отмечалось, согласно формуле (3.9), условие оптимальности по отношению к оценочной функции (3.8) заключается в том, что радиус сосуда пропорционален кубическому корню из потока. Коэффициент пропорциональности оказывается при этом равным
Ж- (3<22)
где г) — динамический коэффициент вязкости крови, о — ее плотность. [Размерность отношения а/т) есть Но ее
можно представить в виде (ml2t~2) (Hf-1), т. е. как отношение размерности энергии к размерности произведения объема на время.] В обычной системе единиц CGS эта константа была оценена Мурреем [29] приблизительно как 19 ООО эрг/см3сек. Используя это значение и беря г) равным 0,03 пз (пз — пуаз, единица вязкости: 1 пз равен 1 дн • сек/см2), мы находим, что постоянная (3.22) в единицах CGS равна примерно 3,8 • 106. У человека поток f оценивается примерно в 100 см5/сек, так что, согласно (3.9),
1002 = (3,8 • 106)г6,
откуда следует, что гс^. 0,4 см. В действительности радиус аорты человека равен примерно 1,5 см, из чего следует, что радиус аорты не определяется оптимизацией по функционалу (3.8).
С помощью качественных соображений также нетрудно установить, что выражение (3.8) неприменимо для вычисления радиуса аорты. В аорту поступает вся порция крови, вытал-
киваемой сердцем, и скорость тока крови в аорте в этот момент значительно выше, чем в любой другой точке кровеносной системы. На больших скоростях в потоке возникает известное в гидродинамике явление турбулентности, и в этом случае те простые соотношения, которым удовлетворяет давление жидкости при небольших скоростях, теряют свою силу. В частности, на продвижение некоторого количества жидкости в турбулентном потоке требуется затратить значительно больше работы, чем в простом ламинарном потоке, так как при турбулентности значительная доля энергии рассеивается.
При каких же условиях возникает турбулентность? Поток жидкости в жесткой трубке радиуса г, имеющий среднюю скорость v, характеризуется так называемым числом Рейнольдса, представляющим собой безразмерную величину:
р = ¦ (3-23) Для каждой жидкости существует критическое значение числа Рейнольдса, при превышении которого образуется турбулентный поток; при значениях р ниже критического поток является ламинарным. Это критическое значение определяется не на основании теоретических предпосылок, а экспериментально; для крови оно равно примерно 1000.
Скорость потока обратно пропорциональна площади поперечного сечения сосуда. Следовательно, для цилиндрического сосуда (а аорту можно приближенно считать длинным цилиндром) скорость потока обратно пропорциональна квадрату радиуса; в этом случае число Рейнольдса (3.23) обратно пропорционально радиусу. Таким образом, малые значения радиуса аорты несовместимы с небольшими значениями числа Рейнольдса, т. е. с условиями ламинарности потока в сосуде. Иными словами, простая минимизация сопротивления и затрат энергии на поддержание системы недостаточны для объяснения величины радиуса аорты. Значение радиуса аорты человека, полученное выше с помощью такой оценочной функции, соответствовало бы существенно турбулентному потоку в аорте. С качественной точки зрения можно представить себе два выхода из положения: следует предположить, что должен быть больше либо размер сердца, либо радиус аорты. Конечно, последнее условие, т. е. увеличение радиуса аорты по сравнению с величиной, полученной на основании прямой минимизации оценочной функции, связанной с затратами энергии, является гораздо менее ограничительным.
На основании приведенных выше данных нетрудно вычислить наименьшее значение радиуса аорты, совместимое с
условием ламинарного течения при заданном минутном объеме сердца (Надо заметить, что здесь мы по существу имеем дело не с минимизацией, а скорее с «пороговой» задачей.) Средняя скорость потока в аорте выражается формулой
v = C/irr2,
где С — минутный объем сердца, а г — радиус аорты. Подставляя это выражение в (3.23) и полагая cr/rj — 37, р^ЮОО,
С
Фиг. 10.
мы находим общее соотношение между радиусом аорты и минутным объемом сердца:
г>0,013С. (3.24)
У человека минутный объем сердца С равен приблизительно 100 см3/сек, поэтому из (3.24) находим
1,3 см.
Поскольку радиус аорты человека равен примерно 1,5 см, мы видим здесь действительно очень хорошее совпадение величин, если учесть, что при расчетах использовались весьма приближенные данные. Следует также отметить, что точки, соответ-
