Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
крытых промежутков вещественной оси. Точно так же, как и в случае вещественной прямой, общее понятие открытого множества «-мерного евклидова пространства можно определить, исходя из следующего условия: S есть открытое множество, если для всякой точки из S можно указать некоторый обрытый прямоугольный параллелепипед, содержащий эту точку и целиком лежащий внутри S. Замкнутое множество «-мерного евклидова пространства определяется, как и раньше, как множество, дополнение которого открыто. Наконец, множество считается ограниченным, если оно содержится в некотором открытом прямоугольном параллелепипеде.
Заданная в «-мерном евклидовом пространстве функция, принимающая вещественные значения, называется, как и раньше, непрерывной в том случае, если прообраз всякого от крытого множества, лежащего в области значений этой функции, представляет собой открытое подмножество области задания этой функции. Из этого определения, в частности, следует, что непрерывная функция п переменных непрерывна также и по каждой из переменных в отдельности во всякой точке своей области определения. «-Мерное евклидово пространство обладает также свойством локальной компактности, и непрерывные образы компактных множеств (ограниченных и замкнутых) опять-таки замкнуты и ограничены.
Определения максимумов и минимумов функций, заданных в «-мерном евклидовом пространстве, аналогичны соответствующим определениям для функции одной независимой переменной. Так, например, говорят, что функция f имеет относительный максимум в точке (аь а2, .. . , а„), если найдется открытый «-мерный параллелепипед /, содержащий эту точку, такой, что f(ai, а2,..., ап) служит точной верхней гранью /(/). Аналогично определяется и относительный минимум. Приведенные в предыдущем разделе рассуждения, касающиеся существования максимумов и минимумов, переносятся без существенных изменений и на этот случай. Остается лишь обсудить вопрос о том, каким образом находятся те точки, в которых функция многих независимых переменных имеет экстремумы.
Как будет показано, эта задача решается с помощью результатов, полученных ранее в предыдущем разделе. Предпо-лбжим, что функция f задана в некоторой области S, представляющей собой открытое множество «-мерного евклидова пространства; допустим также, что в точке (fli, а2, ап) ?S имеется, скажем, относительный минимум / и что f обладает
в S первыми частными производными. Введем новую вещественную переменную t и определим с помощью соотношения
/?(/) = /(а,Н-А1/, <Ц + h2t,..an-\-hnt) (2.1)
функцию F(t), где hlt h2, ..., hn — произвольные, но фиксированные числа. Поскольку f имеет в точке (аи а%..., ап) минимум, функция F(t) должна иметь минимум при / = 0. Полная производная F'(t) выражается следующей хорошо известной формулой:
с' i4\_ df dxi | df dx2 | | df dxn tn
r — dXi dt ~dx2 dt "r" • • • dxn dt •
Но, согласно определению F (t), мы имеем соотношения x, = ax -f- hxt, x2 = a2 + h2t,..., xn = an-yhnt, и поэтому при любом i (1 t ^ n)
dt '•
Таким образом, из (2.2) получается, что
<V_ 1 и df
Ч
Полагая t = 0, находим
= + + + (2-3)
где значения частных производных берутся в точке (fl|, Й2,. . ., Яп)•
Вспомним теперь, что числа hi были выбраны совершенно произвольно, и, следовательно, выражение (2.3) должно обращаться в нуль при всяком выборе hi. Это может быть только в том случае, если сами частные производные обращаются.
в нуль, т. е. в точке (аь а2.....а.п) непременно выполняются
равенства
JL — JL— (2 4>
дхг дх2 ~~ ¦ ¦ ¦ дхп ~
Совершенно аналогичные рассуждеьшя справедливы и в том случае, когда в точке (а\, а2,..., ап) достигается максимум.
Теорема 2.6
Если функция f имеет в точке (fli, а2, .. . , ап) относительный максимум или относительный минимум и обладает в этой
точке первыми частными производными, то эти производные обращаются в данной точке в нуль.
Следует заметить, что эта теорема вполне аналогична теореме 2.5, и ее можно по существу рассматривать как следствие этой теоремы. Как и в предыдущем разделе, эта теорема дает всего лишь необходимые условия существования локальных экстремумов; существует большое число различных типов стационарных точек [т. е. точек, в которых выполняется условие
(2.4)], в которых нет ни максимумов, ни минимумов. Точно так же существует много интересных случаев, когда условия теоремы не выполняются (например, когда существуют не все частные производные), а экстремумы все же имеются. Тем не менее эти две теоремы играют важную роль в различных приложениях.
2.7. Случай бесконечного числа независимых переменных.
Вариационное исчисление
Как было установлено, существенного различия в методах отыскания максимумов и минимумов функций одной Переменной и функций многих переменных нет. Однако многие важные и интересные задачи, связанные с нахождением максимумов и минимумов, не могут быть решены с помощью методов, указанных выше. Задачи такого рода требуют более общей постановки и развития новых и более тонких аналитических методов. Постановка таких задач связана с привлечением бесконечномерных пространств и функций бесконечного числа независимых переменных, заданных на таких пространствах. Соответствующие аналитические методы решения подобных задач относятся к той области математики, которая называется вариационным исчислением.
