Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Розен Р. -> "Принцип оптимальности в биологии " -> 17

Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.

Розен Р. Принцип оптимальности в биологии — М.: Мир, 1969. — 215 c.
Скачать (прямая ссылка): principoptimizaciivbiologii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 87 >> Следующая

2 Будет полезно, по-видимому, указать литературу по затронутым здесь вопросам. Весьма полное изложение результатов, относящихся к вопросу
2.8. Уравнение Эйлера
Основное содержание почти всех задач классического вариационного исчисления можно сформулировать следующим образом: требуется найти функцию у(х), которая минимизирует заданный функционал J(у) вида1
где F(x,y,y')—некоторая функция, так называемое ядро J(y). Как уже говорилось в предыдущем разделе, функцию у(х) можно, вообще говоря, рассматривать как точку (а0, аи а2,...) некоторого бесконечномерного пространства. По аналогии со случаем конечного числа измерений можно попытаться вычислить все частные производные
и приравнять их нулю, для того чтобы определить неизвестную функцию у(х), минимизирующую функционал J (у). Такая попытка сталкивается, однако, с серьезными затруднениями, и требование обращения в нуль частных производных приходится заменить некоторым другим условием. При переходе от конечномерного случая к бесконечномерному, как уже говорилось, понятие компактности приходится определять в новых терминах, и аналогично этому условие минимизации должно быть выражено с помощью некоторого другого свойства, которое, в частности, соответствует и тому методу, который был применен в конечномерном случае, но допускает в то же время обобщение на более широкий класс задач.
Вместо того чтобы просто привести сейчас обычный стандартный вывод этого общего условия, мы получим его здесь,
о существовании решений применительно к задачам вариационного исчисления, можно найти в книге Форзита [19] Менее подробное изложение общих сведений по этому вопросу см. в гл 4 руководства Куранта и Гильберта [18] Имеется много хороших более старых учебников по вариационному исчислению (иапример, книги Блисса, Больца, Адамара и Ганкока), написанных примерно в одной и той же манере О конечномерных задачах читатель может прочитать у Ганкока [20] Современный подход к вариационному исчислению развит в учебнике Гельфанда и Фомина [21] В книге Вайнштока [22], посвященной этим же проблемам, делается упор На приложения вариационного исчисления в физике и технике
1 Функционалы такого вида рассматривались еще в самом начале развития вариационного исчисления при изучении классических задач На первый взгляд может показаться, что это функционалы весьма частного вида, однако на самом депе такое интегральное представление возможно при очень общих условиях для широкого класса функционалов
(2.5)
dJ dJ dJ дао ’ dai ’ дд2 ’ ‘ ‘
обобщив те приемы исследования, которые применялись в конечномерных задачах, это позволит читателю более четко представить себе, каким образом это новое условие возникает и какое оно имеет отношение к ранее изученному материалу. С этой целью допустим сейчас, что мы имеем дело с функциями у(х), представляющими собой многочлены степени не выше N, которые могут быть, следовательно, представлены в виде
У (•*')== а0х -|- <2дг (2-6)
и отождествлены с точками (Л^+1)-мерного евклидова пространства. Надо ясно представить себе, что вариация такой функции эквивалентна вариации коэффициентов аг, определяющих точку (W+1) -мерного евклидова пространства. Мы можем, таким образом, положить
У = У(ао> aN).
Тогда выражение (2.5) записывается в виде
J{y)= j F(x, a0, au..., aN)dx. (2.7)
¦*0
Теперь мы имеем дело с конечномерным случаем, и, согласно теореме 2.6, необходимое условие минимизации J многочленом у состоит в том, что
-7Г- = ~Г~=‘•'==-?-= °- (2-8>
дап дал да. v
В случае когда допустимо дифференцирование под знаком интеграла, мы имеем *
dJ С dF , _______ Г Г dF ду , dF ду’
да0
Г dx= [ Г— — 4- — —1 dx Г2 9) J дао J МУ дао + ду1 дао '
Хп Хп I" -*
Частные производные вычисляются дифференциро-
ванием функции (2.6):
¦Ж- —Nxn~x .
daQ да0
Таким образом, (2.9) записывается в виде
Замечая теперь, что
и подставляя (2.11) в (2.10), получаем
9J _________ Г „N Г dF
----- Л* Л..
d
dx
(2.12)
Совершенно аналогично
,N - 1 " dF___________d__
ду dx
,N — l dF dy'
(2.13)
Теперь используем условие (2.8) и приравняем найденные частные производные нулю. Можно показать, что обращение в нуль всех этих частных производных приводит к соотношению 1
Уравнение (2.14) называется дифференциальным уравнением Эйлера, и оказывается, что это и есть условие, обобщающее ранее изученные результаты, которое применимо также и к бесконечномерному случаю.
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed