Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
В истории математики возникновение вариационного исчисления относят обычно к известной задаче о брахистохроне, предложенной Бернулли ’. Эта задача приводит к определению
1 В 1696 г. И. Бернулли поставил следующую задачу: найти кривую, по которой материальная частица, движущаяся в вертикальной плоскости под действием сил тяжести, перейдет из заданной точки А в заданную точку В за минимальное время. Подробности, касающиеся задачи о брахистохроне и ее решения (этим решением оказывается дуга циклоиды), читатель может иайти в любом стандартном учебнике по вариационному исчислению [19—22] Интересно отметить, что Бернулли решнл задачу о брахистохроне, пользуясь принципом Ферма; н его решении кривая иаискорейшего спуска идентифицировалась с траекторией светового луча, распространяющегося в оптической среде с переменным показателем преломления, подобранным соответствующим образом.
кривой линии у~у(х), минимизирующёй некоторый функционал; по терминологии гл. 1, совокупность допустимых решений в задаче о брахистохроне представляет собой некоторое множество функций, а не множество точек, как это было в задачах, которые мы рассматривали до сих пор.
Надо, однако, сказать, что с математической точки зрения различие между пространством точек и пространством функций не так уже велико, как может показаться с первого взгляда. Возьмем, например, некоторое фиксированное целое положительное число N и рассмотрим «пространство», отстоящее из всех многочленов степени не выше N, зависящих от одной переменной. Элемент такого «пространства» может быть записан в виде многочлена
р (х) = a0xN + axxN ~1 + ... -f aN,
где коэффициенты ах — вещественные числа. Известно, однако, что свойства любого многочлена р(х) степени N полностью определяются его коэффициентами (а0, аи..., On), которые можно рассматривать просто как систему (W+1) упорядоченных вещественных чисел. В этом смысле, таким образом, между функциональным пространством многочленов Степени не выше N и обычным (А^+1) -мерным евклидовым пространством (о многомерных евклидовых пространствах говорилось в предыдущем разделе) наблюдается изоморфизм.
Разовьем эту идею дальше. Из курса элементарного математического анализа известно, что при определенных условиях всякая достаточно гладкая функция f(x) разлагается в степенной ряд вида
f (х) == &q -j— CL\X -j— • • . -j- ~"i~ • • •
(так •называемый ряд Маклорена) и, следовательно, может быть сколь угодно точно аппроксимирована многочленами. По известной теореме Вейерштрасса (см., например, [18]) произвольная непрерывная функция, заданная на сегменте .[а, Ь], может быть равномерно аппроксимирована на этом сегменте многочленами. Разложения подобного рода указывают, что, если многочлены п-й степени можно отождествить с системами (и+1) упорядоченных чисел — коэффициентов этих много-
членов, то многие другие функции можно представить бесконечными последовательностями вида (ао, аи ап,...),
состоящими из коэффициентов таких разложений. Функции,
принадлежащие некоторым другим классам, можно разложить в тригонометрические ряды (ряды Фурье), и тогда каждая такая функция характеризуется последовательностью своих коэффициентов Фурье. Мы можем, таким образом, не вдаваясь
в детали, сказать, что проблемы, связанные с изучением определенных классов функций, можно рассматривать как проблемы, относящиеся к пространствам бесконечного числа измерений. Функции, заданные на таких бесконечномерных пространствах, можно отождествить с функциями, определенными на некотором множестве функций, и в соответствии с обычной терминологией мы будем называть такие функции функционалами. Следовательно, такие задачи, как задача о брахистохроне, можно сформулировать в виде требования минимизации функционалов, определенных на бесконечномерных пространствах.
Попытки применения ранее изложенных методов к пространствам бесконечного числа измерений приводят к многочисленным затруднениям. Основная причина этих трудностей заключается в том, что топология таких пространств существенно отличается от топологии встречавшихся нам ранее конечномерных пространств. Так, например, понятие ограниченности множества невозможно в общем случае определить в тех терминах, которые применялись в конечномерном случае, и определение компактности, данное ранее, не может быть непосредственно перенесено на такие пространства. В этих случаях компактность определяется с помощью другого свойства которым обладают также и ограниченные замкнутые множества, лежащие в конечномерных прсстранствах. При этом оказывается, что в общем случае все бесконечномерное пространство может и не быть локально компактным.
Вследствие этого теорема 2.4 о существовании максимумов и минимумов в таких случаях неприменима. Но главный вопрос, который прежде всего должен быть решен в связи с задачей
о минимизации, как раз связан с существованием решения; во многих случаях и в самом деле оказывается, что решение не существует 2.
1 Это свойство, называемое обычно свойством Гейне—Бореля [в русской математической литературе его называют бикомпактиостью. •— Перев.], заключается в следующем. Пусть имеется подмножество S некоторого пространства (топологического) и некоторое семейство R открытых подмножеств этого пространства. Если для всякого элементаx^S существует некоторое открытое множество Q?C2, такое, что x^Q, то говорят, что семейство R покрывает 5 Говорят, что S обладает свойством Гейне—Бореля, если из всякой системы Q открытых множеств, покрывающей S, можно выделить подсистему Q' С ?2, состоящую из конечного числа множеств, принадлежащих системе Q, и покрывающую S. Можно показать, .что множество вещественных чисел компактно (т. е. ограничено и замкнуто) в том и только в том случае, когда оно обладает свойством Гейне—Бореля. То же самое справедливо и для компактных подмножеств n-мерного евклидова пространства
