Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Розен Р. -> "Принцип оптимальности в биологии " -> 14

Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.

Розен Р. Принцип оптимальности в биологии — М.: Мир, 1969. — 215 c.
Скачать (прямая ссылка): principoptimizaciivbiologii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 87 >> Следующая

В случае, когда в точке х0 достигается относительный минимум, доказательство проводится аналогично, и мы предоставляем его читателю.
Доказанная теорема утверждает, что обращение в нуль производной в некоторой точке области задания функции является необходимым условием существования максимума или минимума. Однако по ряду причин эта теорема не дает полного решения задачи о нахождении экстремумов. Во-первых, вполне очевидно, что производная вовсе не обязательно вообще должна существовать в той точке, где достигается максимум или минимум. Например, на фиг. 3 производная в точке х0 не существует, а в точке х0' обращается в бесконечность, но в обеих точках, согласно нашему определению, в действительности имеются относительные максимумы.
Если даже исключить из рассмотрения случаи такого типа (что, впрочем, с точки зрения практических приложений, нежелательно) и обратиться исключительно к таким функциям /, которые обладают непрерывными производными во всех точках
областей своего задания, эта теорема все же указывает всего лишь необходимое условие существования экстремумов. Дело в том, что производная f может обратиться в нуль и в такой точке х0, где нет ни относительного максимума, ни относительного минимума f. Такую точку называют точкой перегиба (фиг. 4). В этом случае значение f(x0) не совпадает ни с точной верхней, ни с точной нижней гранями /(/), какой бы интервал /, содержащий ха, мы ни взяли.
Хотя условие обращения в нуль первой производной и не исчерпывает, таким образом, вопроса о нахождении экстремумов непрерывной функции, оно является чрезвычайно полезным. Всякая точка х0, в которой производная / обращается в нуль, называется стационарной точкой1 (существуют, разумеется,
методы, позволяющие в определенных случаях решить вопрос о том, что именно в действительности имеется в данной стационарной точке — относительный максимум, относительный
1 Этот-термин применяется в связи с тем, что, если функция f имеет стационарную точку х=х0 и h есть малая первого порядка, то f(x0+h)=f(x0) с точностью до величин более высокого порядка малости. В этом смысле значение f(x) в точке х=х0 «стационарно» при бесконечно малых приращениях независимой переменной
Для достаточно гладких функций справедливость этого утверждения может быть, например, непосредственно усмотрена из формулы Тейлора, согласно которой
&2
/ (*о + h) = / (лс0) + hf (xq) + -g- f" (jc0) +
+ члены более высокого порядка малости относительно h,
так как по предположению f'(x0) =0. Этот факт следует сравнить со следствием теоремы 2.7, содержащим аналогичное утверждение для случая вариационной задачи Отмеченное обстоятельство оправдывает применение в вариационных задачах термина «стационарная кривая».
минимум или точка перегиба, но здесь нет необходимости останавливаться на этих вопросах).
Прежде чем переходить к более сложным проблемам, посмотрим, какое отношение указанные выше идеи имеют к тем вопросам, которые рассматривались в первой главе. Пусть f — некоторая непрерывная функция с определенной областью задания S. Предположим, что множество S можно рассматривать как совокупность допустимых решений некоторой задачи
об оптимизации, а значения оценочной функции, связанные с различными индивидуальными решениями, совпадают с числами f(x). Как было показано выше, в случае, когда множество S компактно, существует решение с минимальной ценой. Если это решение лежит внутри S, то'оптимальное решение следует искать среди стационарных точек f, если f вс^)ду дифференцируема на S, т. е. в тех точках х ? S, где f'(x)=0. Многие оптимальные задачи действительно могут быть решены в рамках этой схемы. Существуют тем не менее и такие проблемы оптимальности, к которым такой метод решения неприменим.
2.6. Функции многих независимых переменных
Мы обратимся теперь к изучению таких функций, области задания которых представляют собой множества, состоящие из систем п упорядоченных вещественных чисел, которые можно записать, скажем, в виде (хи х2,..., хп). Совокупность всех возможных систем п чисел такого вида называется вещественным п-мерным евклидовым пространством, а сами упорядоченные системы (хь хг,..., х„) называются точками этого пространства. Здесь нет необходимости подробно рассматривать свойства таких пространств. Двумерное евклидово пространство может быть интерпретировано как множество точек на обычной плоскости.
Топология евклидовых пространств может быть построена способом, весьма близким к тому, который применялся для вещественной прямой. Основным здесь является понятие открытого п-мерного прямоугольного параллелепипеда, аналогичное понятию открытого промежутка. Открытым «-мерным прямоугольным параллелепипедом называется множество точек {х\, х2, ..., хп), удовлетворяющих условиям
«1 <*i <*i,
^2 ^ Х2 ^ ^2>
ап<хп<Ьп,
где {а\,Ь\), (а2, (а-п, Ьп)—произвольно взятые « от-
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed