Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Основные величины — масса, длина и время — называются основными физическими размерностями, а размерность любой другой механической величины представляется некоторой формулой вида malbtc, где I, т, t — символы единиц длины, массы и времени, а а, Ь, с — рациональные числа. Надо заметить, что размерность физической величины не зависит от того, каким именно способом выбираются единицы измерения основных величин: например,' скорость определяется единицей длины, отнесенной к единице времени, независимо от того, будет ли она измерена сантиметрами в секунду или километрами в час.
При составлении уравнения, связывающего физические величины, нельзя складывать величины разных размерностей. Так, скорость можно складывать со скоростью, работу — с работой, но нельзя прибавлять скорость к работе. Физическое уравнение должно быть однородным в отношении размерностей, т. е. размерности выражений, стоящих слева и справа от знака равенства, должны быть одинаковы. Анализ размерностей, в котором подобные понятия изучаются систематически, представляет самостоятельный интерес для изучения, но здесь мы не будем касаться дальнейших деталей этого предмета (см., например, [23]). С попыткой применить анализ размерностей непосредственно к биологическим задачам можно познакомиться в статьях Сталя [24, 25].
Обратимся теперь к оценочным функциям (3.1) и (3.5). Функция (3.1) выражает сопротивление потоку жидкости, и размерность сопротивления (выраженная через т, I, t) есть Но с функцией (3.5) дело обстоит уже не тадс просто. Первое слагаемое здесь опять-таки есть сопротивление, но второй член пропорционален объему, т. е. величине с размерностью /3. Однако размерность можно приписать также и коэффициенту пропорциональности. Для соблюдения размерност-ной однородности нужно, чтобы эта постоянная имела размерность mt7t. Если это условие выполнено, то оценочная функция (3.5) тоже будет иметь характер сопротивления.
В дальнейшем нам будет, однако, удобно изменить физическую размерность оценочной функции (3.5) и вместо сопротивления системы рассматривать мощность, рассеиваемую при движении жидкости, т. е. работу, произведенную жидкостью в единицу времени. Мощность чшеет размерность ml2t-3. Размерность сопротивления переходит в размерность мощности при умножении на множитель с размерностью 1Ч~2. Надо отметить, что эта последняя размерность как раз равна квадрату размерности потока: размерность потока есть l3t~l. Таким образом, всегда можно получить мощность, рассеянную в гидравлической системе, умножая сопротивление этой системы на квадрат потока. В частности, первому слагаемому в выражении (|3.5) можно придать размерность мощности. Размерность второго члена тоже можно преобразовать к мощности, причем для этого не нужно даже изменять его форму, а достаточно лишь изменить размерность постоянной К¦ В данном случае, как нетрудно проверить, постоянной К нужно придать размерность т.1~Ч~3. Если все это сделано, то вместо (3.5) за оценочную функцию принимается выражение
Рт = fRr + К (K«rl + Vr?)> (3.7)
где f — поток. Надо принять также во внимание, что если поток f задан, то всегда можно так выбрать единицы измерения, чтобы /2= 1. В этом случае (3.7) формально совпадает с (3.5), хотя физический смысл и размерности этих выражений будут, разумеется, совершенно разными. Читатель может также легко проверить, что при вычислении оптимального значения угла, соответствующего (3.7), получается то же самое, что и в случае (3.5); различие состоит лишь в том, что в формуле (3.6) нужно заменить k на f2k.
3.5. Разветвление кровеносных сосудов
Возвращаясь к нашей основной задаче, возьмем теперь для оценочной функции полученную нами формулу (3.7). Это позволит нам использовать для рассуждений изящный прием, идея которого в основном принадлежит Муррею [26, 27] и который позволяет избежать сложных вычислений, возникающих при попытке исследовать случай разветвления прямыми методами.
Укажем вначале на то, что формула (3.7) позволяет найти оптимальную величину радиуса отдельного сосуда фиксированной длины, если задан поток через этот сосуд. Для отдельного
неразветвленного сосуда длины L и радиуса г функция (3.7) имеет вид
Рт ~ /2Рт + Knr2L. (3.8)
Дифференцируя это выражение по г и приравнивая производную нулю, мы находим, что Рт принимает минимальное значение при выполнении соотношения
<3-9>
Подставляя (3.9) в (3.8), мы находим, что при оптимальном значении f рассеяние мощности, приходящееся на единицу длины, связано с радиусом сосуда выражением
Pt!L = уг2, (3.10)
где у — некоторая постоянная.
Теперь допустим, что оптимальная конфигурация разветвления, при которой (3.7) минимизируется, известна и соответствует расположению точек A,B,C,D на фиг. 7—9. На основании теоремы (2.7) мы знаем, что при смещениях первого порядка малости в оптимальной конфигурации оценочная функция изменяется на величину, не превосходящую второго порядка малости. Значит, с точностью до бесконечно малых высших порядков, величина функционала Рт не изменится, если заменить минимизирующую конфигурацию «близкой» к ней конфигурацией, отличающейся от нее величинами первого порядка малости. Рассмотрим теперь следующие три частных случая выбора конфигурации, «близкой» к оптимальной (фиг. 7—9). Здесь отрезок прямой ВВ' считается берконечно малой величиной первого порядка, которая обозначается далее через б. Радиусы и длины трех элементов АВ, ВС, BD оптимальной конфигурации обозначим соответственно через го, L0\ r\, Lt; r2, L2.
