Конструкция мозга. Происхождение адаптивного поведения - Росс Э.У.
Скачать (прямая ссылка):
Состояние равновесия является инвариантом группы, так как изменение t не меняет значений хг, ..., хп.
Если якобиан функций /,, т. е. определитель ,
который мы будем обозначать /, не равен тождественно нулю, то система имеет изолированное состояние равновесия. Если /=0, но не все миноры (п—1)-го порядка равны нулю, то уравнения (2) определяют кривую, каждая точка которой является состоянием равновесия. Если J и все миноры (п—1)-го порядка тождественно равны нулю, но среди миноров (п—2)-го порядка имеется отличный от нуля, то в поле существует двум ер-
ная поверхность, состоящая из точек равновесия; и так далее1.
20.5. Теорема: Если все /, непрерывны и дифференцируемы, то в окрестности положения равновесия система, определяемая состоянием, может бътъ приближенно заменена линейной (§ 19.10).
Пусть система, заданная уравнениями
dxiJdt = fi(x„ . ..,хп) (г = 1, ..п),
имеет состояние равновесия Хг, ...,Хп, т. е.
..., Хп)== 0 (i' = l,
Положим xt = X. (г = 1, так что х( опре-
деляется своим отклонением ?г от положения равновесия. Тогда
gy + —//(-^1 + ёк • • •. ^п + ёп) (* = 1, •••,«)•
Разлагая правые части уравнений по формуле Тэйлора и замечая, что dXijdt=Qvifi (Х)=0, получим при бесконечно малых систему
___dfi * I d/,- p ,.___j. v
Частные производные берутся в точке Xlt ..., Хп и являются постоянными. Таким образом, полученная система линейна.
20.6. Вообще говоря, для того чтобы проверить устойчивость данной линии поведения, необходимо найти ее уравнения и исследовать их при t->~-{-oo. Для линейных систем, однако, существуют методы проверки устойчивости, не требующие знания линий поведения в явном виде. В силу того, что многие системы в интересующей нас области близки к линейным (см. § 20.5), эти методы находят широкое применение. Возьмем линейную систему
dxijdt = аих, -j- aitxt + . . . + ainxn (i = l,...,n) (1)
Математически строгое изложение этих вопросов см., например, в книге Э. Гурса «Курс математического анализу» -т Прцм. перев.
или, в сокращенной матричной записи (см. § 19.21),
х — Ах. (2)
(Свободные члены в правой части опущены, так как они не влияют на устойчивость.) Если определитель А не равен нулю, система имеет единственное положение равновесия. Если раскрыть определитель
аи К а1п
ai\ агг к . .. агп
ат
то он окажется полиномом п-й степени от Х. Приравнивая его к нулю и, если п нечетно, умножая его на —1, получим характеристическое уравнение матрицы А
-|-/и2Хя“2-[- ... -[-тп = 0.
Каждый коэффициент т1 в этом уравнении равен сумме всех главных миноров г-го порядка матрицы А, умноженной на (—1)*. В частности,
Щ — — (Яц + я22+ • • • +ап«)‘> тп~(—1ГИ I-
Пример. Линейная система
dxjdt = — — 6ж,, 'l
dxjdt= 7®, — 6ж2-^-8гс,, I dxJdt = — 2x1-\-Axi — 4x, I
имеет характеристическое уравнение
Г + 15Я,г + 2^, + 8 = 0.
Корни А,,, ..., Хп характеристического уравнения называются собственными числами матрицы А. Интегрируя каноническое представление, мы получим выра-. жение для xi в виде линейной комбинации 1 экспонент
1 Если все Яи ..., Я„ различны. Если среди корней имеются кратные, то выражение для ж,- будет иметь несколько более сложный вид.— Прим. перев.
eKnt, ..., eut. Чтобы эта сумма была ограниченной при t-+ +00, действительные части всех Х( должны быть отрицательны. Это условие является критерием устойчивости линейной системы.
Пример. Уравнение А,’+15Я,2+2Х-1-8=0 имеет корни—14,902 и —0,049±0,729 ]/—1.
Поэтому соответствующая линейная система устойчива.
20.7. Сформулируем признак Гурвица, применяемый при исследовании корней характеристического уравнения: для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все определители
т1 1 т1 1 0 т1 1 0 0
т3 тх ¦ т, тг тх » т, ms от. 1
ть т4 ms 1 пъ т4 т> тг
mi тш тъ mi
были положительны (при <?>га считаем mq=0).
Пример. Описанная выше система с характеристическим уравнением
Xs -|- 15Л,2 —2>_8 = О
дает последовательность детерминантов
+ 15, 15 1 15 1 0
8 2 > 8 2 15
0 0 8
Они имеют значения 15, 22 и 176. Следовательно, по признаку Гурвица, система устойчива, что находится в согласии и с предыдущим результатом.
20.8. Другой признак, принадлежащий Никвисту, утверждает, что для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении комплексного переменного X (Я,=а-\-Ьг, i—У—¦ 1) вдоль мнимой оси комплексной плоскости от —гоо до -)-гоо полином
Г + от, А,""1 + mtXn-менял фазу на тот.
Критерий устойчивости Никвиста широко применяется в теории электрических цепей и сервомеханизмов. Однако в нем используются данные, получаемые при исследовании реакции системы на постоянное гармоническое возбуждение. Этот прием мало полезен в теории адаптации и поэтому здесь не обсуждается.
