Конструкция мозга. Происхождение адаптивного поведения - Росс Э.У.
Скачать (прямая ссылка):
19.3*. Переменные рассматриваются как функции времени. Систему п переменных мы будем обычно обозначать х1,хг,.., хп или иногда, короче, х. Случай п=1 не исключается. Везде будет предполагаться, что п конечно. Систему с бесконечным числом переменных (как, например, в § 19.17) мы будем заменять системой, в которой и конечно, i пробегает дискретные значения, а сама система пренебрежимо мало отличается от исходной.
Каждая переменная xt есть функция времени t. Чтобы подчеркнуть это, иногда мы будем писать xt(t). Эти функции должны быть однозначными, но не обязательно непрерывными. Постоянную величину можно рассматривать как переменную, претерпевающую нулевое изменение.
19.4. Состояние системы в момент времени t есть совокупность численных значений#, (t),.., xn(t). Два состояния (ж,,..., хп) и (yt ...,уп) равны, если xl=yi для всех i.
19.5. Переход может быть определен только по истечении некоторого интервала времени — конечного, обозна-
чаемого A t, или бесконечно малого, обозначаемого dt. Он определяется двумя состояниями: одним в момент времени t и другим по истечении указанного интервала времени.
Линия поведения определяется последовательностью состояний и временных интервалов между ними. Две линии поведения идентичны, если равны все соответствующие состояния и временные интервалы в последовательности. (Иными словами, две линии поведения, отличающиеся только абсолютным временем их начала, считаются идентичными.)
19.6. Основная операция—это физическое, а не математическое явление, требующее реальной машины и реального оператора или экспериментатора. Он выбирает начальное состояние (а:?, ..., х°), а затем следит аа переходом, совершающимся при изменении системы в соответствии с ее внутренними законами.
19.7. Если при повторных применениях основной операции к начальному состоянию S обнаруживается, что все линии поведения системы одинаковы, и если то же самое справедливо и для всех других состояний S', S",... системы, то система называется регулярной.
Такая система может быть представлена в виде
®i=^i(х1’ •••> К’ *—*<>)>
xn = Fn{x\, ..., ж»; t—10),
где являются однозначными функциями своих аргументов, а в остальном произвольны. Если t=ta отвечает начальному состоянию, мы, очевидно, должны иметь
F(( х\, ..., х0п\ 0) — х? (i = l, ..., п).
19.8. Теорема: Линии поведения системы, определяемой состоянием, определяют группу.
Пусть х°—начальное состояние (?„=()), где одним символом обозначены все п переменных, и пусть за время t' состояние х° перешло в х'. Пусть система с начальным состоянием х' за время Г переходит в состояние х”.
Так как мы имеем дело с системой, определяемой состоянием, то, если из состояния х° совершить переход, отвечающий времени ?' -)-Г, линия поведения системы должна получиться той же самой. Таким образом,
x!=Fi(x[, ..., х'^?) = Р{(х\, х»; *' + **)
(t = 1, ..., п).
Но
xi=Fi(xl> •••• l') (i=i. • ••> п)> что дает
F^F^i О; П =
= Fi(x\, ..., х°; г' + г") (i = l, ге)
для всех значений ж0, Z' и из некоторой заданной области; а это и есть один из способов определения однопараметрической непрерывной группы.
Пример. Система с линиями поведения
*»=*;+*;*+<*»
x% = x\-\-2t
— это система, определяемая состоянием, а система
xi = х\ + Х\1 +
— нет.
Каноническое представление
19.9. Теорема: До того чтобы система хп
была системой, определяемой состоянием, необходимо и достаточно1, чтобы х( как функции от t удовлетворяли уравнениям
tlx, t . v '
— /1 (*1» • • •» хп)<
1 Если все xft) дифференцируемы.—Прим. перев.
где fj — однозначные, но не обязательно непрерывные функции своих аргументов. Иными словами, производные переменных х1, ...,хп могут быть определены как функции этих переменных без участия (явного или неявного) других функций от времени. У равнения в этом виде называются каноническим представлением системы.
(Эти уравнения мы будем иногда писать в виде
dxjjdt = fi(xi, • • •! жп) (i== 11 .. ., n) (2)
или даже совсем коротко ж=/(ж), если смысл ясен из контекста.)
(1) Пусть дана система, определяемая состоянием. Заданные при 1=0 начальные условия ж“ перехо-
дят за время t в ж,,..., хп, а за время t-{-dt в ж, -{-dx,,..., xn-\-dxn. Зададим также при ?=0 начальные условия ж, ...,хп и посмотрим, во что они перейдут за время dt. По групповому свойству (§ 19.8) конечное состояние должно быть одним и тем же. Используя обозначения, введенные в §19.8, получим, что из состояния с^ртема переходит в состояние F^х",t-\-dt), а из z,—в состояние Fi (х, dt). Следовательно,
Fi(x<>; t -\-dt)=Fi(x, dt) (t = l, n).
Применим формулу Тэйлора1 и обозначим -^F^a, Ъ) через F'. (а, Ь). Тогда
/’,.(*•; t) + dt-F;(x°; t)=F,(x; 0)i-dt.F'.(x- 0)
