Конструкция мозга. Происхождение адаптивного поведения - Росс Э.У.
Скачать (прямая ссылка):
2) ни один вектор не определяет более одного поля,
3) некоторые поля могут быть определены более чем одним вектором и 4) некоторые поля могут не соответствовать ни одному значению вектора а.
21.3. Если вектор а может принимать т значений (т.е. возможны т комбинаций значений параметров а{), то система может иметь тп полей. Эти тп полей могут быть различными, но не исключена возможность, что некоторые из них будут совпадать между собой.
Фиг. 67.
21.4. Если параметры меняются непрерывно (т. е. сколь угодно малыми шагами), то во многих случаях соответствующие изменения в поле малы. Но возможно также, что сколь угодно малому изменению параметров отвечает большое изменение поля. Иными словами, поля часто, но не всегда являются непрерывными функциями параметров.
21.5. Если параметры непосредственно воздействуют только на часть переменных, они появятся только в соответствующих Например, каноническое представление (машины с входом а)
dxjdt=f1(x1, хг, а), ) dxjdt =/г (ж,, xt) )
соответствует такой схеме непосредственных воздействий:
21.6. Вводя изменяющиеся параметры, можно учесть любое изменение в определяемой состоянием системе (и, следовательно, в физической или биологической «машине»), в том числе любую возможность вмешательства экспериментатора. Следовательно, если отношения между переменными системы x—f(x) изменились так, что она получила вид ж=ф(а;), то это изменение можно представить как результат изменения параметра а в единой системе ж=г|з(х; а), так чтобы, например, при а=1 получить /(х)^г|)(?;1), а при а=2 получить ср(х)= г|з(х; 2).
Применим этот метод к процессу, описанному в § 8.11, где магниты двух блоков были соединены легкой стеклянной нитью, так что были вынуждены колебаться вместе. Мы покажем, что соединение и разъединение магнитов эквивалентно изменению параметра, принимающего одно из двух значений.
Предположим, что в опыте участвуют блоки xt, хг и хг и мы соединяем магниты первого и второго блоков. До соединения уравнения имели вид (см. § 19.11)
dxjdt = а11х1 + а1гхг + 'j
dxjdt = atlx1-\-attxt-\-attx„ I dx}jdt — 1 J
После соединения хг и хг эти переменные принимают одинаковые значения и одно из них, например хг, можно исключить из системы. Но хг продолжает действовать на другие переменные и на нить, соединяющую ее с хх. Уравнения поэтому принимают вид
dxijdt — (а„ -)- а12 -{- а21 а22) хх (а1} аг») 1
dxjdt = («« + 0*1+ «.Л- I
Легко убедиться, что если система содержит параметр Ъ и ее уравнения имеют вид
dxjdt = {оп + Ъ (а1г + ои + aj} хх + (1 — Ь) а12ж2 + \
+ (аи + Ьаг,)ж}, I dxjdt= «аА + а22*. + «гА» (
dxjdt = (а,1 + Ьа„)^ + (1 — Ъ) апхг + а„х,, J
то при 6=0 получим уравнение, отвечающее системе с разъединенными магнитами, а при Ъ=1 — с соединенными. (Конечно, эта система — не единственная система, обладающая этим свойством.)
21.7. Мы будем говорить, что переменная xk ведет себя как постоянная функция, если выполняется одно из следующих условий (легко показать их эквивалентность):
1) переменная, как функция от времени, сохраняет начальное значение
2) в канонических уравнениях fk (xt, ..., хп) тождественно равно нулю;
3) в уравнениях § 19.7 Рк(х*, . ж»; t)=x°.
(Предполагается заданной некоторая область фазового пространства.)
Все переменные системы, определяемой состоянием, кр,оме ступенчатых и постоянных функций, мы будем называть главными переменными системы.
Теорема: Подсистема главных переменных системы, определяемой состоянием, также образует систему, определяемую состоянием, если только ступенчатые функции не меняют своих значений.
Предположим, что х,, ..., xk — постоянные и ступенчатые функции системы, a xk+l, ..., хп— ее главные переменные. Канонические уравнения системы имеют вид dxjdt — 0, >.
dxkjdt=- 0,
d^k+Jdt = fk+\(Ж1) •••» xki xk+ii
dxnjdt = fn(xl, .. , xk) xk+1, ...,xn). )
Интегрируя первые к уравнений, получаем х, = xj, ...
..., хк = а подставляя полученные значения в осталь-
ные уравнения, приходим к системе
dxk+1jdt /й+j (xj, ..., хк+1, ...,хп),
» • • • *
dxjdt /п(х®, • • • i x°k, ж^+1, . ,.,жп).
В этой системе afi, ..., X* — постоянные, не зависящие от времени. Поэтому уравнения имеют каноническую форму относительно хА+1, хп. Следовательно, эта система является системой, определяемой состоянием, в любом интервале времени, не содержащем точек изменения хх> ..., xk.
Обычно выбор переменных, образующих систему, определяемую состоянием, зависит от фактических отношений, существующих в реальной «машине», и наблюдатель не может изменить их, не внося изменений
Фиг. 68. Три поля в плоскости (xit х2), отвечающие значениям параметра а = О (Г), а = 1 (II) и а = 2 (III).
в саму «машину». Из теоремы, однако, следует, что наблюдатель может по своему желанию включать постоянные функции в определяемую состоянием систему или исключать их, и при этом тип системы не изменится. Иными словами, предложения «параметр а сохраняет постоянное значение а0» и «система содержит переменную а, которая, как постоянная функция, равна своему начальному значению а° »,— просто два способа выражения одной и той же мысли.
