Конструкция мозга. Происхождение адаптивного поведения - Росс Э.У.
Скачать (прямая ссылка):
20.9. Приведем несколько примеров, иллюстрирующих различные вопросы теории устойчивости линейных систем.
Пр и м е р 1. Диагональные члены аи характеризуют внутреннюю устойчивость переменных. В самом деле, если все переменные, кроме хр зафиксировать, то г-е уравнение системы принимает вид
dXj}dt = aiixi с,
где с постоянно, и мы видим, что при аи<0 переменная xt стремится к —с/д[7, а при а(7> 0 неограниченно растет (если оо).
Если диагональные члены ап значительно превосходят по абсолютной величине остальные коэффициенты матрицы, то собственные числа этой матрицы близки к аа. Отсюда следует, что если диагональные члены велики, то они и определяют устойчивость.
Пример 2. Матрица уравнения гомеостата (§ 19.11) имеет вид
I ... ~
. . 1
........................1
.......................1
a12h a13h а14/г —/'
aiSh a2ih . — j .
a,th aji a,Ji . — j
atJi aiSh aji . . . —j_.
Если [ilt ..., p,s — собственные числа этой матрицы, а X,, ..., \4—собственные числа матрицы ]ауЛ|, то % = Р'в+ЛУ Если /=0, система должна быть неустойчивой,
anh atlh a31h _ auh
так как восемь ее собственных чисел получаются извлечением квадратных корней из Я,,, ..., А,4, причем берутся оба — как положительные, так и отрицательные — значения этих корней. Если/-*-оо, то система с'восемью переменными и система с четырьмя переменными устойчивы или неустойчивы одновременно.
Пример 3. Фиксируя одну переменную в устойчивой системе, можно сделать систему остальных неустойчивой. Например, матрица
' 6 5 —10 '
— 4—3 — 1 4 2—6
соответствует устойчивой системе. Но, зафиксировав третью переменную, получаем систэму с двумя переменными — ее матрица
6 5
— 4 —3
Эта система неустойчива.
Пример! Увеличение внутренней устойчивости одной переменной (см. пример 1) может нарушить устойчивость всей системы. Например, система с матрицей
4
3
устойчива. Но она станет неустойчивой, если изменить а , сделав его меньше, чем —4,5.
П р и м е р 5. Пусть матрица порядка п X п представлена в расчлененной форме
и пусть матрица [а] имеет порядок кхк. Если к диагональных элементов ап велики в сравнении со всеми остальными элементами матрицы, то ее собственные числа
близки к к значениям ап и п—к собственным числам матрицы [d]. Так, матрица (соответствующая [с?])
1 —3 '
1 2
имеет собственные числа -|-1,5^1,658 i, а матрица
100 --- 1 2 о-
--- 2 --- 100 --- 1 2
0 --- 3 1 --- 3
2 --- 1 1 2
имеет собственные числа —101,39, —98,62 и +1,506^ ± 1,720г.
Следствие. Если система [с?] неустойчива, но система с четырьмя переменными устойчива, то увеличение внутренней устойчивости переменных хх и хг в конце концов приведет к неустойчивости системы в целом.
Пример 6. Сложная природа устойчивости хорошо иллюстрируется системой с матрицей
' —3 —2 2
— 6 —5 6
— 5 2 — 4
в которой каждая переменная в отдельности и каждая пара переменных устойчивы, целое же — неустойчиво.
Вероятность устойчивости
20.10. Понятие «вероятность устойчивости системы» получает точный смысл только после того, как определена система, для нее определено понятие устойчивости, а затем указано пространство, из которого берутся выборки. Вообще различных .определений «вероятности
устойчивости» слишком много, чтобы можно было изучать все их здесь. При необходимости каждое из них должно быть рассмотрено отдельно.
Для нас представляет интерес вероятность устойчивости линейной системы, когда коэффициенты ее матрицы являются случайными числами. Это приводит нас к следующей задаче.
Элементами матрицы порядка пХп являются вещественные числа, случайно выбранные из генеральной совокупности с заданным распределением. Найти вероятность того, что все собственные числа матрицы имеют отрицательные вещественные части.
Насколько мне известно, эта задача не решена даже в таком частном случае, когда все элементы имеют одинаковые распределения, например такие простые, как нормальное е~х> или равномерное в интервале (—a,-fa). Так как тем не менее мне были необходимы сведения об изменении вероятности устойчивости системы при возрастании и, я произвел эмпирические испытания — для случая, когда коэффициенты матрицы являются целыми числами, равномерно распределенными между —9 и -f9. Матрицы составлялись с помощью «Таблицы случайных чисел» Фишера и Йейтса, проверка устойчивости производилась с помощью признака Гурвица (§ 20.7). Одна из полученных матриц третьего порядка, например, имела вид
- _1 _3 —8 ¦
