Конструкция мозга. Происхождение адаптивного поведения - Росс Э.У.
Скачать (прямая ссылка):
22.2. Для того чтобы установить основные свойства ступенчатой функции в некоторой системе, рассмотрим следующий пример.
На невесомой пружине подвешен грузик массы т. Если пружину натянуть слишком сильно, то она оборвется и грузик будет свободно падать. Пусть для увеличения длины пружины на 1 сл» требуется сила к дин и такая же сила противоположного направления требуется для сжатия пружины. Движение грузика будем характеризовать расстоянием х по вертикали сверху вниз от положения пружины в отсутствие грузика.
Если в начальный момент времени поместить грузик выше или ниже точки покоя, его движение будет описываться уравнением
где g — ускорение силы тяжести. Это уравнение можно привести к канонической форме подстановкой х=х1Ь dxjdt=xi:
(1)
Если пружина оборвется, к станет равным нулю и
уравнения приобретают вид
dx.ldt=x,, )
/ <з> Предположим, что пружина обрывается при растяжении на длину X.
Поведение такой системы можно изучать двумя эквивалентными способами. Мы можем рассматривать к как параметр системы (xv х2), изменение которого переводит уравнения (2) в уравнения (3) (см. § 21.1). При
Ф и г. 69. Поле системы (хи х2) до разрыва пружины (Л) и после разрыва (В).
Правее пунктирной линии пбля не существует, так как при растяжении на длину X пружина разрывается.
этом поле А системы будет переходить в поле В (фиг. 69).
При другом подходе мы можем рассматривать ж,, хг и к как три переменные некоторой системы. Это — определяемая состоянием система, обладающая единственным полем, изображенным на фиг. 70. При таком подходе ступенчатая функция должна быть введена в канонические уравнения. Это можно сделать, например, так:
dkjdt^q (4- + Tth {я{Х~ ®i)}— *) , (4)
где К — начальное значение переменной к, a q — большое положительное число. При q-+oо поведение к стремится к ступенчатой функции.
Другая возможность — использование 6-функции Дирака, определенной следующими условиями: 6(и)=0 при Uy?z0, а при и=О стремится к бесконечности так, что
СО
J б(м)йм=1.
—00
Если dujdt=b{q>{u, v, то dujdt будет равно нулю всюду, кроме значений и, v, обращающих ф в нуль.
И
При этих значениях Ь (и) мгновенно становится бесконечно большой и и меняется конечным скачком. Практическая польза этих представлений невелика, однако они имеют большую теоретическую ценность, показывая, что ступенчатые функции можно включить в каноническое представление системы.
22.3. В системе, определяемой состоянием, ступенчатая функция меняет свое значение только в определенны? состояцияз? системы, называемых критическими
На фиг. 70, например, такими состояниями для ступенчатой функции к, имеющей начальное значение К, будут все точки плоскости к—К (верхняя плоскость), лежащие справа от хг=Х.
Вообще говоря, критические состояния могут быть расположены произвольно. Однако обычно это расположение непрерывно. В этом случае существует критическая поверхность
Ф(А, .. .,ж„)=0,
которая при данном к отделяет критические состояния от некритических. Например, на фиг. 70 зта поверхность пересекается с плоскостью к=К по линии хг—Х. (Плоскость А=0 не пересекается с критической поверхностью, так как в нашей системе нет состояний, в которых к менялось бы после того, как стало равным нулю.)
Обычно ф является функцией только некоторых переменных системы. Так, открытое или закрытое положение телеграфного реле зависит только от двух переменных — наличия тока в катушке и предыдущего состояния.
Такие переключения и критические состояния можно наблюдать в гомеостате. Критическая поверхность (в первом приближении) представляет собой квадрат, куб или четырехмерный куб в фазовом пространстве — в зависимости от того, сколько используется блоков (два, три или четыре). Критические состояния расположены в пространстве вне этой поверхности. Из-за наличия люфта в переключателях критические поверхности для включения несколько не совпадают с поверхностями для выключения.
Системы с несколькими полями
22.4. Предположим, что в предыдущем примере какая-то неизвестная нам сила время от времени внезапно рвет пружину и так же внезапно восстанавливает се,
Если бы за время наблюдения произошло много таких актов, мы сделали бы вывод, что эта определяемая состоянием система попеременно обладает то полем А, то полем В (см. фиг. 69).
Такую систему можно назвать системой с двумя полями. Аналогично, если параметры системы могут принимать г различных комбинаций значений, внезапно сменяющих друг друга в силу неизвестных нам причин, мы можем сказать, что система имеет г полей.
22.5. С определенной осторожностью мы можем провести это рассуждение в обратном направлении, используя соответствие, описанное в § 21.2. Действительно, хотя число полей не определяет числа наборов значений параметров, но оно дает для этого числа оценку снизу. Следовательно, поле, меняющееся как первый ряд букв в § 9.13, требует, как минимум, четыре значения параметров, а поле, меняющееся подобно второму ряду,— не менее 15.
