Конструкция мозга. Происхождение адаптивного поведения - Росс Э.У.
Скачать (прямая ссылка):
21.8. Оказывая влияние на поле, Изменение параметра влияет Также на устойчивость линий поведения системы. Например, рассмотрим системы
dxjdt =— хх-\-ахг, dxJdt=-xl — xi-\-1.
Полагая последовательноя=0,1 и 2, получим три поля, изображенные на фиг. 68.
/
//
///
Когда а=0, существует устойчивое состояние равновесия в точке ж1=0, хг—1. При а=1 состояния равновесия нет. При а=2 существует неустойчивое состояние равновесия в точке х,=—2, хг=—1. В этом случае каждому значению параметра а отвечает свое поле (причем различным значениям параметра отвечают различные поля).
Объединенные системы
21.9. (Основные положения, относящиеся к объединенным системам, рассмотрены во «Введении в кибернетику», § 4/7. Здесь мы будем говорить только о непрерывных системах.)
Простой физический акт соединения двух машин, естественно, находит свое отражение в математическом аппарате. Это значительно легче показать в канонических уравнениях, чем в уравнениях § 19.7.
Конечно, можно было бы просто написать систему уравнений, включающую все переменные, и ввести параметр а, принимающий одно значение, когда части системы соединены, и другое, когда они разъединены. Однако это ничего не сказало бы об истинном смысле «объединения» системы. Значительно лучше ввести в одну систему параметры, являющиеся функциями переменных второй системы (тем самым будет охарактеризовано влияние второй системы на первую). Если параметры каждой из систем являются функциями переменных другой, то это означает наличие двустороннего взаимодействия. Например, пусть мы имеем одну систему с двумя переменными:
dxjdt = ft{x,y; а), | dyjdt = fjx,y) j
и вторую с одной переменной:
dzjdt = y{z\ b).
Тогда схема непосредственных воздействий имеет вид
а X --- У Ь Z
Пусть теперь а — некоторая функция от z, например просто a = z. Тогда уравнения новой системы принимают вид
dxjdt = fi (х, у\ z), dyjdt =ft {х, у), dzjdt = <р (z; Ъ),
а схема непосредственных воздействий — вид
Ъ ---* Z _* X ---I У
Введем, далее, еще одну связь между системами, положив Ь = у. Получим уравнения
dxjdt=f1 (х, у, z), dyldt—ft[x, у), dzjdt = ф (z; у)
и такую схему непосредственных воздействий:
В этом методе установление каждой связи приводит к исключению одного параметра. Это естественно, так как каждым параметром, с помощью которого устанавливается связь с другой системой, мог бы воспользоваться экспериментатор для произвольного вмешательства. Иными словами, при нашем подходе объединение с другой системой заменяет действия экспериментатора.
Такой метод объединения не влияет на внутреннее поведение каждой из систем — оно остается прежним с той только разницей, что на него воздействуют переменные, которые раньше были для данной системы параметрами.
21.10. Теорема: Объединенная система обладает более богатым выбором способов поведения, чем система, представляющая собой совокупность изолированных частей.
(Это легко показать в предположении, что каждая часть имеет конечное число возможных состояний и конечное число входов. Тот же результат для бесконечного случая можно получить предельным переходом, но это потребовало бы применения специальных методов расчета.)
Предположим, что система состоит из р частей, каждая из которых может находиться в любом из s состояний (р и s конечны). Тогда число возможных состояний во всех частях системы равно sp независимо от того, соединены или разъединены ее части. (Для удобства положим sp —к.)
Если части системы соединены так, что каждое из этих к состояний может перейти в любое из к состояний (переходы каждой части ничем не ограничены, поскольку они обусловлены состояниями других частей системы и меняются при их изменении), то число возможных преобразований равно кк.
Если же части не соединены между собой, то преобразования каждой части не зависят от состояния других. Поэтому преобразование целого составляется просто из преобразований отдельных частей. В каждой части с s состояниями может произойти ss преобразований. Поэтому число возможных преобразований в целом равно (ss)p=(sp)s=ks. Так как s<k, то ks<kk, что и доказывает теорему.
21.11.ПустьХ,,...,ХП—состояние равновесия системы
dxi]dt=fi{xt, .. ., хп; ау, . ..) (е=1,... , п)
при определенных значениях а(, а затем этр. система
присоединяется к другой, так что at становятся функциями от yt. Если yt таковы, что at все время сохраняют свои первоначальные значения, ю Хх, Хп останется состоянием равновесия системы. В этом случае нули функций /, и состояния равновесия ж-системы не изменяются при операции соединения.
21.12. Вместе с тем устойчивость системы может грубо нарушиться. В общем случае, когда /, произвольны, проверить это нелегко. Но в линейном случае (служащем приближением для любой непрерывной системы; см. § 20.5) это сделать нетрудно.
Приведем три примера.
П р и м е р 1. Две системы могут образовать устойчивое целое при одном способе соединения и неустойчивое— при другом.
