Конструкция мозга. Происхождение адаптивного поведения - Росс Э.У.
Скачать (прямая ссылка):
бы, что совершенно не может понять эту систему, так как, хотя каждая линия поведения точно воспроизводима, различные линии поведения находятся в очень сложных отношениях друг к другу. Экспериментатор отверг бы эту систему двух переменных и не успокоился бы до тех пор, пока сам или с помощью нового Ньютона не открыл новую систему, которая действительно будет определяться состоянием. В моей теории я настаиваю на фундаментальном значении систем, определяемых состоянием, так как я согласен с экспериментаторами, стремящимися иметь дело с такими системами в практической работе.
Преобразования канонического представления
19.14. В некоторых случаях изолированные системы изучаются с помощью методов, отличных от применяемого нами. В следующих параграфах рассмотрены некоторые приемы, с помощью которых различные способы исследования системы сводятся к описанному у нас.
19.15. Иногда изучение системы упрощается в результате замены переменных. Это означает, что вместо старых переменных я,, ..., хп мы вводим в рассмотрение такое же число новых переменных ylt ..., уп, связанных со старыми с помощью однозначных функций ср(.:
2/; — Ф; (ж1, •••>*») (i — !> п).
Если представлять переменные с помощью стрелок на шкалах, то такая замена переменных означает переход к новым шкалам, на каждой из которых регистрируется некоторая функция старых. Если функции ср(. не зависят явно от времени, то новая система, как и исходная, будет системой, определяемой состоянием.
19.16. В§ 19.11 (пример с гомеостатом) мы рассматривали производные как независимые переменные. Я пришел к выводу, что этот прием обладает общими преимуществами: не создавая трудностей и не приводя к несов-
местимым системам, он придает нашему методу изящное единообразие.
Например, имея уравнения некоторой системы, определяемой состоянием, мы можем записать их в виде
*i —ж„) = ° = ...,п)
и рассматривать их как га уравнений с 2п алгебраически независимыми переменными ж,, ..., хп, х1, ..., хп. Продифференцируем теперь все уравнения q раз. Мы получим (q-\-l)n уравнений с (q-\-2)n переменными и их производными. Затем мы можем произвольно выбрать п из этих переменных и, оставив, кроме них, еще га их производных, исключить остальные qn переменных, использовав для этого qn уравнений. Если обозначить выбранные переменные zt, ..., zn, мы получим п уравнений с 2га переменными
Ф/ (^1 J • • • > Z/IT ^1» • • • ? 2П) — 0 (i — 1, . *п),
где zk играют роль независимых переменных (вместо жй), a zk соответствуют xk. Чтобы придать этим уравнениям канонический вид, остается лишь разрешить эти уравнения относительно ,zl, ..., zn. Легко видеть, что полученная система, как и первоначальная, является системой, определяемой состоянием (см. § 19.9).
Таким образом, в системе, определяемой состоянием, можно исключить часть переменных, вводя вместо них в рассмотрение производные остальных ^переменных.
Пример. В системе
ж,— ж, жг, 1
хг = Зж, ж2 )
можно исключить хг, введя в качестве новой независимой переменной хг. Легко получаем новую систему в канонической форме
dxjdt= хг, |
dx1/dt = — -|- 2xt, |
•це независимыми переменными являются ж, и ж,.
19.17. Изолированные системы, в которых действие одной переменной на другие передается с запаздыванием на конечный промежуток времени, могут быть приведены к виду систем, определяемых состоянием, если,к переменным системы добавить их производные в качестве новых независимых переменных. Пусть, например, действие xi на хъ передается за 2 единицы времени, а действие Х2 на xi — за 1 единицу времени. Если зависимость х от времени мы записываем как x{t), то получаем следующую систему уравнений:
dx1(t)ldt = f1{xl(t), xt(t — 2)}, \ dx1(t)ldt=f1{x1(t — l), x^t)). \
Это не каноническая форма системы. Однако, разлагая xi (t—1) и Х2 (t—2) в ряд Тэйлора и добавляя к системе столько производных, сколько необходимо для получения нужной точности, мы можем прийти к определяемой состоянием системе, сколь угодно близкой к исходной.
19.18. Если изменение некоторых переменных связа-
t
но с кумулятивным эффектом, например y^x^dt},
t а
то, полагая ^y(xi)dt=y, получим систему, эквивалент-
а
ную исходной, но уже в канонической форме: dxjdt=f(y), dyjdt — ф(ж2), dx2jdt= ... и т. д.
19.19. Если изменение одной переменной зависит от скорости изменения других, например
dxjdt = f1(dxjdt, х„ хг), dxjdt=ft{xlt zt),
то, подставляя в Д (•••) выражение для dxjdt, мы получим каноническую форму уравнений
dxjdt =f1{ft(xl, хг), sj, "I
dxjdt =ft{xltxj. j
19.20. Если какая-либо переменная меняется мгновенно или настолько быстро, что ошибка будет невелика, если зто изменение считать мгновенным, то значение такой переменной может быть представлено как функция значений других переменных, и, таким образом, эту переменную можно исключить из системы.
