Конструкция мозга. Происхождение адаптивного поведения - Росс Э.У.
Скачать (прямая ссылка):
(i = 1, .... п).
Но Fi (ж0; t) — Fi (х, 0) = ж,-. Следовательно,
*¦,'(*•; 0=*¦;(*; 0) (»=1.......п). (3)
Но ж,- = F; (ж®; t) (г = 1, ..., п).
1 До сих пор на функции F,- (х, г) не было наложено никаких ограничений, кроме однозначности. Здесь необходимо потребовать их непрерывную дифференцируемость.—Прим. перев.
Поэтому
Учитывая уравнение (3), получаем
Следовательно, теорема доказана, так как F\ (я; 0) содержит t только через посредство хх,..., хп, а не в какой-либо другой, явной или неявной форме.
Пример 1. Первая из систем, рассмотренных в § 19.8, приводит к следующим дифференциальным уравнениям в канонической форме:
Вторая система, рассмотренная в том же параграфе, не может быть представлена в таком виде, так как не является системой, определяемой состоянием, и для нее групповое свойство не выполняется.
Следствие:
(г = 1, ..., п).
(2) Дифференциальные уравнения (1) можно записать в виде
dx{ — /[¦ (Xj, ..., хв) ¦ dt (i -— 1, •. •, w).
Мы видим, что данное множество значений г,, ..., хп, т. е. данное состояние системы, определяет изменение dxt в каждой переменной х{ за временной интервал dt. Интегрированием можно определить линию поведения, идущую от этого состояния. Следовательно, это система, определяемая состоянием.
Пример 2. Интегрирование уравнений
Вновь приводит к групповым уравнениям примера из
19.10. Определение. Система называется линейной, если все функции Д, /п линейно зависят от своих аргументов.
19.11. Пример 3. Уравнения гомеостата можно получить следующим образом: пусть xt — угол отклонения i-ro магнита от его среднего положения; тогда силы, действующие на него, линейно зависят от момента количества движения, пропорционального х, трения, также пропорционального х, и четырех токов в обмотках, пропорциональных ж,, ж2, ж, и ж4. Если все четыре блока гомеостата одинаковы, то мы получим
где р и q— потенциалы на концах сосуда с водой, I зависит от лампы, к— от трения стрелки, т — от момента инерции магнита. Если положить h — l(p — q)Jm и f=kjm, то уравнения принимают вид
dxijdt = h (ahxl auxj — jxt
из чего следует, что эта система с восемью переменными — линейная система, определяемая состоянием. Ее можно также записать в виде
§ 19.8.
jt (тх;) = -kx-{-l(p — q){ аихх + ... + я,чж4)
(* = 1, 2„ 3, 4),
dxi______
(i=l, 2,3,4).
dt
_ к [Ир — я)
Пусть т—>О. Тогда1 значения dxjdt становятся очень большими, но это не относится к dx{jdt. Поэтому xi быстро стремятся к
1-{Р\Я) КА + • • • + й« А).
тогда как медленно меняющиеся ж,- не могут быстро изменить значения, к которым стремятся х:. В пределе
^=x,= -(pj q)- (а^д,-[- ¦ ¦ ¦ +а;А) (* = 1» 2. 3,4).
Вводя г = l^p ^ ^ t, т. е. изменяя масштаб времени, получим уравнения
dxrfdx = ailxl + ... + auxl (i = 1, 2, 3, 4),
показывающие, что система xt, хг, я,,я4 определяется состоянием и линейна. Коэффициенты ау имеют здесь значения, устанавливаемые переключателями на входе (см. фиг. 35).
19.12. Теоремы, сформулированные в предыдущих параграфах, показывают, что следующие свойства являются эквивалентными, т. е. выполнение одного из них влечет за собой выполнение остальных:
(1) система определяется состоянием;
(2) через каждую точку поля проходит лишь одна линия поведения;
(3) линии поведения могут быть определены уравнениями вида
dxtjdt = /,• (®j, • • •, ха) (t = 1, ..., re),
правые части которых не содержат других функций от t, кроме тех, чьи производные содержатся в левых частях *.
1 Предельный переход выполнен нестрого. На самом деле эта задача требует привлечения более тонкого математического аппарата.— Прим. перев.
* Утверждение не совсем точно. Для того чтобы свойства (1) и (2) были эквивалентны свойству (3), необходимо потребовать дифференцируемость линий поведения в (1) и (2).— Прим. перев.
19.13. Приведем простой пример регулярной, но не определяемой состоянием системы. Возьмем стол, поверхность которого искривлена, так что вместо плоского она имеет мягко всхолмленный вид (фиг. 65). Глядя на него сверху, мы можем разметить его поверхность сетью линий, играющей роль системы координат. Если мы поместим шарик в какую-нибудь точку и затем отпустим его, он покатится. Отмечая его положения,
Фиг. 65.
скажем, через 0,1 сек, мы определим линию поведения системы двух переменных, определяемой нашими координатами.
Если поверхность стола сделать аккуратно, линии поведения будут точно воспроизводиться и система будет регулярной. Тем не менее экспериментатор, ничего не знающий о силах тяготения или количествах движения, нашел бы эту систему неудовлетворительной. Он установил бы, что шарик, отправляясь из А, всегда приходит в А', отправляясь из В всегда приходит в В'. А вот объяснить поведение шарика в точке С он затруднился бы. И если бы экспериментатор попытался прояснить ситуацию, отправив шарик из самой точки С, он обнаружил бы, что шарик движется в D\ Qh сказал
