Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
регрессии и тем самым получить возможность более точно судить о том, как
меняется одна величина (у) вслед за изменением другой (х).
В таких случаях прибегают к приему, носящему название выравнивания.
Имеется в виду такое выравнивание, которое достигается с помощью
простейших приемов или даже на глаз.
Хорошим и технически очень легким приемом является использование так
называемой скользящей средней. Фактически полученные значения уь
расположенные по фиксированным значениям xit заменяют новыми, полученными
путем сложения 3 или 5 рядом расположенных значений Уг и деления суммы на
3 или на 5.
Для получения последующей величины у берут 3 или 5 значений уи сдвинутых
на единицу. Это значит:
Vi + Уа + Уа """ " Уг + Уа+Уа + Уа + Уа . у 1 = з ИЛИ У1---------------
-----g >
145
уг = У* + У" + У± или Уй + + у+ * + "**¦ ;
у, = Уз + ^ + Ц или уг = У"+1?"±у^.У" + ". И т. д.
Метод скользящей средней в обеих вариантах показан в табл. 28, а
графическое изображение линий регрессии - на рис. 14.
Таблица 28
Средний вес яиц у в 15 поколениях кур, х, у' - скользящие средние по 3
значениям у, у" - то же по 5 значениям у
XI У1 У' У* Xi У1 У* У*
1 55,4 - - 9 58,0 57,7 57,4
2 54,0 54,1 - ю 59,2 58,9 58,4
3 53,0 53,4 54,3 11 59,6 59,3 59,0
4 54,1 54,1 53,9 12 59,2 59,2 59,2
5 55,1 54,1 53,9 13 58,8 59,0 59,2
6 53,2 54,2 54,5 14 59,0 59,0 -
7 54,3 54,5 55,3 15 59,3 - -*
8 56,0 56,3 56,1
При подсчете скользящих средних по 3 значениям теряются 2 точки на кривой
- по одной справа и слева; при подсчете по 5 значениям теряются 4 точки -
по две справа и слева. Поэтому выгоднее всего применение этого метода при
большом числе точек. Впрочем, исчезающие точки, можно все же поставить
путем
Рис. 14. Эмпирическая линия регрессии, показывающая изменение веса
куриных яиц (в г) за 15 поколений разведения линии. Штриховая линия-
выравненная методом скользящей средней по 3yi.
146
интерполяции от соседних точек или просто продолжением линий впррво и
влево. Ряд, составленный из \ еще более выравнен, нежели ряд,
составленный из у' (на рис. 14 он не нанесен, чтобы не загромождать
график).
Уравнение регрессии. Эмпирическая линия регрессии обычней представляет
собой более или менее ломаную линию. Она достаточно наглядно отображает
характер связи между двумя изменчивыми величинами х и у, но не дает
возможности точно определить любое значение х по заданному значению у
или, наоборот, значение у по заданному значению х. Для этой цели могут
служить уравнения регрессии.
Уравнение прямолинейной регрессии в общем виде можно записать так:
Ui - y = b (xt -х). (55)
Оно выражает определенную зависимость, а именно: что вслед за отклонением
х от средней по ряду х происходит и отклонение у от средней по ряду у,
причем показатель 6 является коэффициентом пропорциональности, т. е.
величиной, указывающей на количественную связь в изменении у при
изменении х.
При переносе у в правую часть равенства получим
у; = у+ 6(^-~x). (55а)
Если х приравнять нулю, то у будет первоначальным значением у, с которого
надо начинать построение линии регрессии при х - 0. Его можно обозначить
через а. Уравнение регрессии примет вид обычного уравнения прямой линии,
известного из аналитической геометрии:
у = а + Ьх. (56)
Здесь у их представляют собой коррелирующие в своей вариации величины, а
- первоначальное значение у при х=0, 6- коэффициент пропорциональности,
который показывает степень зависимости х от у. Это уравнение
предусматривает прямолинейную зависимость между х и у, т. е.
прямолинейную регрессию. При наличии криволинейной зависимости
применяются' более сложные уравнения.
Для того чтобы определить значения а и 6 в уравнении у=а+Ьх, надо решить
систему двух уравнений:
1. па + (2 х() 6 = 2 ус,
2. (2 Х;)а -f- (2 xf) 6 = 2 хг</;. (57)
Составление этих уравнений основано на так называемом методе наименьших
квадратов, т. е. с помощью их вычисляются такие параметры для уравнений,
при которых сумма квадратов отклонений эмпирических значений у от
теоретически вычисленных окажется наименьшей.
147
Фактические данные о конкретных парах значений и у% позволяют определить
необходимые для решения системы урав-ний величины: n; Xxt\ I,yt; hxf и
Уравнения регрессии можно рассматривать двояко: а) как уравнения для
оценки индивидуальных значений у по связанным с ними значениям х (либо,
наоборот, индивидуальных х по связанным с ними у), б) как уравнения для
оценки средней величины тех значений у, которые связаны с данными
частными значениями х (или, наоборот, средних для значений х, связанных с
данными частными значениями у).
Для иллюстрации первого случая можно использовать цифровые данные о связи
температуры внешней среды с количеством поглощенного кислорода у крыс,
представленные графически на рис. 13. Необходимые величины для
составления уравнения регрессии у по х приведены в табл. 29. После
подстановки итоговых значений этой таблицы в уравнения 1 и 2(57) они
приобретут следующий вид:
