Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Односторонняя регрессия. При определении регрессии*указывалось, что она
является двусторонней, т. е. что можно рассматривать изменение х по у и
изменение у по х. В разобранном выше примере рассматривалась регрессия
обхвата груди по живому весу коров, но можно было проанализировать и
обратную регрессию - живого веса по обхвату груди, так как оба признака
обладают случайной вариацией.
Однако в биологических исследованиях возможны случаи, когда из двух
изучаемых признаков только один свободно варьирует, значения же второго
признака являются строго фиксированными. Так, при изучении колебаний
численности лесной мыши у по годам х первый признак у может варьировать,
второй же признак х такой свободной вариацией не обладает, ибо годы точно
установлены. Поэтому можно ограничиться изучением регрессии только у по
х, а не х по у.
Коэффициент регрессии. Значительно легче составить уравнение регрессии,
если известно значение коэффициента Ъ. Дело в том, что Ь представляет
собой не что иное, как коэффициент регрессии, чаще всего обозначаемый R.
Коэффициент регрессии может использоваться и самостоятельно как
количественная мера регрессии. В силу двусторонности регрессии
коэффициентов может быть два: Rx/y и Ryix- Обозначают их и так: Rx.y и
Ry,x. Для их вычисления можно применить следующие формулы:
Rx,y = r%L (58)
и
Ry/x = r%L. (58а)
151
Сигмы можно заменить квадратными корнями из квадратов отклонений (п - 1
взаимно сокращаются). Тогда
Необходимо помнить, что в данном случае сигмы должны быть выражены в их
абсолютных значениях, т. е. вычислены с учетом величин классовых
промежутков. Эту оговорку приходится делать потому, что при вычислении
коэффициента корреляции, как указывалось выше, можно было пользоваться
условными сигмами, т. е. их значениями, не умноженными на величину
классового промежутка.
Таким образом, коэффициент регрессии может быть вычислен, если известны
сигмы обоих вариационных рядов по признакам х и у и коэффициент
корреляции между ними. Коэффициент регрессии прямо пропорционален
коэффициенту корреляции, однако
равны они только в том случае, если отношение - = 1, т. е.
<*"
когда сигмы обоих рядов одинаковы.
Коэффициент корреляции между живым весом поросят у и их возрастом х равен
0,988; ау = 3,69; ах = 2,58. Тогда
Значение R (= Ь) может быть вычислено и в том случае, если нет готовых
значений г и <т, - с помощью средних отклонений и средних квадратов
отклонений от средней. Подстановка их вместо а и г в формулу для R дает
возможность получить следующие рабочие формулы для b(= R)\
а) выраженные в отклонениях от средних арифметических:
(59)
и
(59а)
Rx,a = 0,988 • gg= 1,41; Ryh = 0,988 .§Ц= 0,69.
(60а)
(60)
б) выраженные в конкретных значениях xt и уг.
У ______ %xl2yi
Используем для вычисления b по формулам (60) и (60а) данные приведенной
выше табл. 29. При этом понадобится подсобная табл. 31. В данном случае
коэффициенты регрессииЬ (или/?) равняются:
Ь," - -^г = - 0.089 = - 0,09; i'"'=W = -10'67-
Таблица 31
Данные для вычисления Ь (R) изменения количества поглощенного кислорода у
крыс в связи с изменением температуры внешней среды
XI У1 Хх - X (XI - xf У1 - У (yi- У? (*г - х) X х (у 1
- 1)
0 3,8 -15 225 1.5 2,25 -22,5
5 3,4 -10 100 1.1 1,21 -11,0
10 2,6 -5 25 0.3 0,09 -1.5
Л5 2,0 0 0 -0,3 о.о 0
20 1,7 5 25 -0,6 0,36 -3,0
25 1,4 10 100 -0.9 0,81 -9,0
39 1,3 15 225 -1.0 1,00 -15,0
= 105 х = 15 23^ = 16,2 У = 2,3 2 = 700 2=5,81
2 = - 62,0
Это значит, что с увеличением температуры на 1° количество поглощенного
кислорода уменьшается на 0,09 мл/г веса. При расчете же температуры по
количеству поглощенного кислорода наблюдается такая зависимость:
увеличение поглощенного, кислорода на 1 мл/г веса соответствует снижению
температуры на 10,67°.
Так как хну известны, то легко составить и уравнения регрессии, для чего
надо определить значение а по частной формуле у = а + Ьх. Откуда а ь= у -
ЬхТ(В данном случае речь идет об аг) Подставив в эту формулу имеющиеся
данные, получим
а = 2,3- (-0,09) .15=2,3+1,35=3,65.
В окончательном виде получается уравнение
у=3,65 -0,09 х.
Таблица 32
Связь длины туловища х (в см) и веса тела у (в кг) у 20 взрослых людей и
закодированные данные для вычисления коэффициента регрессии R (=&)
*1 т х' У' х'у' (*')*
165 56 5 6 30 25
176 75 16 25 400 256
175 70 15 * 20 300 225
168 ' 61 8 11 88 *64
167 61 7 11 77 49
172 63 12 13 156 144
175 72 15 22 330 225
180 80 20 30 600 400
179 76 19 26 494 361
173 68 13 18 234 169
166 57 6 7 42 36
178 76 18 26 468 324
169 60 9 10 90 81
169 64 9 14 126 81
170 63 10 13 130 100
176 71 16 21 336 256
180 78 20 28 560 400
169 62 9 12 108 81
177 75 17 25 425 289
176 71 16 21 336 256
2 = 260 7= 13,0 2 = 359 ' 7=17,95 2 = 5330 2 = 3822
Для второго уравнения надо будет вычислить а, пользуясь значением bxjy (а
= х - by):
а = 15-(-10,67) .2,3=15+24,5=39,5.
Уравнение будет следующим:
х=39,5- 10,67i/.
Применение формул (61) и (61 а) можно показать на итоговых данных табл.
