Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
расчета квадратов отклонений (табл. 33): Значения для третьего столбца
были вычислены по уравнению регрессии у = 3,65 - 0,09х.
Полученную сумму квадратов отклонений, т. е. 2 (yt - yt)2, надо разделить
на число степеней свободы, которое в данном случае равно п - 2, так как
при вычислении отклонений используются две величины, а не одна.
Подставив в формулы (62) и (63) соответствующие значения из табл. 33,
получим а%.у = 0,0630 и ау.х = 0,25 мл/г поглощенного кислорода.
Эта величина ау.х имеет такое же значение, как а в вариационном ряду. В
пределах одной ау.х распределяются отклонения от теоретической линии
регрессии вверх и вниз (направление вверх и вниз надо считать по оси у) в
68% случаев. С вероятностью 0,997 можно утверждать, что эти отклонения от
теоретической линии регрессии расположатся в пределах ± 3оу.х. В данном
случае Зо = 0,75.
Значок у • х показывает, что рассматривается регрессия у по х, т. е.
изменение в величине у по точно установленным значениям ряда х. При
рассмотрении регрессии х по у надо писать
х • у.'Е{у1-у,)* может быть получена и без специальной табл. 33, из
данных предыдущей табл. 31, для чего можно использовать следующую рабочую
формулу:
Тогда
(62)
(63)
Величину (tfo - уд иногда обозначают для сокращения через dy.x.
* Более полное изложение вопроса об оценке достоверности регрессии и о ее
доверительной зоне см. в кн.: Урбах В. Ю. Биометрические методы, стр.
300-309; Снедекор Дж. .У. Статистические методы, стр. 135-144.
Таблица 33
Фактические (3/;) к теоретические (yt) значения количества поглощенного
кислорода (в мл/г) веса) у крыс в зависимости от температуры внешней
среды (X;)
У'г
Л
У1
Отклонение от У? ({/; - Уд
Квадраты отклонений
(У/ - $1 ?
О
5
10
15
20
25
30
3,8
3.4 2,6 2,0 1,7
1.4 1,3
3,65
3,20
2,75
2,30
1,85
1,40
0,95
0,15 0,20 -0,15 -0,30 -0,15 0
0,35
0,0225
0,0400
0,0225
0,0900
0,0225
0
0,1175
2 = 0,3150
Тогда
2 (*i - *J*
2(у._у)2_ {S (Xj -~х)'(Уг~~У)I8 * S(Xi-x)8
Gy. x -
n - 2
yf
n - 2
(62a)
(63a)
При подстановке соответствующих величин из табл. 31 получим
Jyx- г 7__
62а
700
2
& их V т ""гг п - 0,25.
Ошибка коэффициента регрессии вычисляется по формуле
5Л =
V 2 (*,-*)*
или при замене оу,х ее значением в отклонениях
(64)
Sh =
/¦
Ъ{У1-У?
[2(хг-х)(уг-{/)1" S - лг)а
(я - 2) 2 (Xi - х)2 158
(64а)
Так как оу.х в разобранном примере уже вычислена (= 0,25), нужно ее
разделить на корень квадратный из 2 (xt-х)г, значение которого можно
взять из табл. 31.
В таком случае
sb = = 0,0096.
ь ^700
Степень достоверности устанавливается,'как обычно, по величине t\
f-JL. (65)
При этом надо брать df = п - 2.
Коэффициент регрессии b = 0,09 или, точнее, 0,089, отсюда
По табл. III находим, что полученное значение t превышает требующееся t
при уровне значимости 0,01.
Нулевая гипотеза, предусматривающая, что Р = 0, должна быть отброшена.
Если коэффициент регрессии был вычислен с помощью величин г, ах, оу, то
средняя ошибка для него может быть получена по следующей формуле:
_ l/l - г*
Sby-X~~^c V ~п^2'
Соответственно
= ' "*>>
Сравнение коэффициентов .регрессии. Оно производится так же, как и
сравнение других статистических показателей. Разница между ними делится
на ошибку разницы, которая вычисляется путем объединения сумм квадратов
обеих выборочных совокупностей по следующей формуле:
Sdib.-b,) - j/" 2(jCi_-)3 + S (*2.-*2)а • (67)
При малых величинах совокупностей, на которых получены коэффициенты
регрессии, вносятся некоторые усложнения, подобные тем, с которыми
приходилось встречаться при вычислении ошибки разницы между средними
арифметическими двух малых выборок. Аналогично им Sd^-ь,) вычисляется по
такой формуле:
_ Г (rt! - 2)s? + (ns - 2)S|| / 1 ; 1 г
Достоверность же определяется по значению
f _ - ь%
Sd{bt-bt)
(68)
с помощью табл. II или III.
Связь между регрессией и корреляцией. В начале главы уже указывалось на
то, что основное корреляционное уравнение ty = - rtx может быть
преобразовано в обычное уравнение регрессии. Вспомним, что t представляет
Собой нормированное отклонение:
При замене ty и tx. в формуле ty = rtx их полными значениями получим
Если помножить обе половины равенства на <гу, оно примет следующий вид:
В данном случае Ьу,х,
Мы получили то самое уравнение регрессии, с которого начали рассмотрение
вопроса о регрессии. Вот почему основное корреляционное уравнение ty-rtx
может быть названо и уравнением регрессии. Прямая регрессии, построенная
на основе уравнения регрессии, представляет собой не что иное, как
геометрическое изображение линейной корреляционной связи.
Особенностью метода регрессии является то, что зависимость между
изменяющимися величинами может рассматриваться как бы в двух разных
направлениях, т. е. регрессия может быть двусторонней - х по у и у по х.
Отсюда существование двух коэффициентов регрессии. Коэффициент же
корреляции служит общим мерилом сопряженной вариации двух признаков. Он
