Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
гл. 8 й 9.
162
В качестве примера можно использовать данные (схематизированные для
упрощения расчетов) об изменении удоев за лактацию у в зависимости от
номера лактации х (табл. 34).
В таком случае искомые уравнения будут следующими:
. 10а + 556+ 385с = 15,4,
55а+' 3856+ 3025с - 92,2,
385а + 30256 + 25333с = 666,8.
Предоставляем читателям самим решить эти уравнения, определить
коэффициенты а, 6 и с.
Экспоненциальные кривые. Известно, что рост организмов (или популяций
организмов) во многих случаях происходит таким образом, что прибавка в
весе во всякий момент времени пропорциональна уже достигнутому весу.
Иллюстрацией могут служить данные, приведенные в табл. 35.
Таблица 34
Изменение удоев за лактацию у (в тыс. кг) в зависимости от номера
лактации х и прочие необходимые величины для уравнения (71)
XL to х2 xi xi xi Х1У1 A to
1 1 1 1 1 1 1
2 1,2 4 8 16 2,4 48
3 1,3 9 27 81 3,9 11,7
4 1,4 16 64 256 5,6 22,4
5 1,5 25 * 125 625 7,5 37,5
6 1,6 36 216 1296 9,6 - 57,6
7 2,0 49 343 2401 14,0 98tQ
8 2,0 64 512 4096 16,0 128,0
9 1,8 81 729 6561 16,2 145,8
10 1,8 100 1000 10 000 16,0 160,0
2-55 15,4 385 1 3025 i 25 333 92,2 666,8
Если представить данные второго столбца в виде светлых кружков (рис. 17),
то легко видеть, что возрастание веса происходит значительно быстрее,
нежели возраста. Проведя по ним линию, получим экспоненциальную кривую,
подымающуюся вверх со все увеличивающейся скоростью.
Уравнение регрессии для такой кривой может быть записано в следующей
форме:
W=A-BX, (72)
где А и В являются величинами, которые требуется определить;
6*
163
м
^ л
Iй Г*
yfiS-
Ц'2,0 1
10 J§
возраст (бднях)
Рис. 17. Изменение, с возрастом сухого веса куриных эмбрионов (светлые
кружки) и логарифмы веса (темные кружки).
Логарифмируя это уравнение, получим '
log 117=log А + (log В) х, (72а)
что соответствует обычному уравнению прямой у - а + Ьх (log W
соответствует у, log Л-a; log В-Ь).
В третьем столбце'табл. 35 даны логарифмы W. На рис. 17 они обозначены
темными кружками, расположенными почти по прямой. Таким образом, с
помощью логарифмирования первоначальных данных произведено их .
выравнивание. Практически очень часто ограничиваются лишь графическим
изображением
Таблица 35
Изменение сухого веса куриных эмбрионов W (в г) от б-диевиого до 16-
дневного возраста х (в днях) и логарифмы этого веса
Возраст х Сухой вес W Логарифм W
6 0,029 -1,538
7 0,052 -1,284
8"~ 0,079 -1,102
9 0,125 -0,903
10 0,181 -0,742
11 0,261 -0,583
12 0,425 -0,372
13 0,738 -0,132 •
14 1,130 ' 0,053
15 1,882 0,275
16 2,812 ^ 0,445
т
кривых роста на особ&Й Ьоауйед^рифмической ^мйге.Нп*м")й бумаге на одной
Из ординат нанесена логарифмическая шкала а на- другой - обыкновенна^.
Тогда можно не составлять спет циальных уравнений регрессии. -
Определить же значения log Л и log В дли уравнения прямой
log W=log А + (log В) х
можно по данным табл. 35, пользуясь теми же приемами, которые были даны
выше при решении уравнения прямолинейной регрессии.
Уравнение прямой будет таково:
у= -2,689 + 0,1959 х.
Здесь у выражен в логарифмах веса, х - в днях. 0,1959 - это логарифм
1,57, а 2,689 - логарифм 488,65. Поэтому в натуральном масштабе
экспоненциальное уравнение будет иметь следующий вид:
ИЛИ
' W = 0,002046 ¦ 1,57*.
ВОПРОСЫ
1. Что такое'регрессия? .
2. В чем преимущество регрессии по сравнению с корреляцией?
' 3. Какими способами может быть выражена регрессия?
4. Изложите ход работы по построению эмпирической линии регрессии,
5. Под каким углом пересекакугся эмпирические линии регрессии при слабой-
корреляции? При сильной корреляции?
6. Напишите уравнение регрессии в общем виде; в виде уравнения прямой.
7. Напишите систему двух уравнений для определения* значений а и b в
уравнении у = а + Ьх,
8. Как строится теоретическая линия регрессии, если решено уравнение
регрессии?
9. Что выражает уравнение регрессии х по у и уравнение регрессии у по х>
10. В каком случае две теоретические линии регрессии пересекаются под
прямым углом друг к другу? Когда они совпадают?
11. Чему равен тангенс угла между линией регрессии и осью х?
12. Напишите формулы коэффициента регрессии.
13. Может ли коэффициент регрессии быть равным коэффициенту корреляции?
-
14. Каково взаимоотношение R и 6?
15^ Напишите формулы для Ь {в отклонениях и в конкретных значениях * и
у). % ,
16. В чем заключается физический смысл ошибки линии регрессии? Как
определяются доверительные границы линии регрессии?
17. Почему коэффициент регрессии надо называть выборочным?
18. Каково число степеней свободы при определении ошибки линии регрессии?
19. Как формулируется нулевая гипотеза по отношению-к регрессии?
20. Напишите несколько формул для ошибки коэффициента регрессии.
.21. Можно ли вычислить среднюю ошибку. для коэффициента регрессии*
пользуясь сигмами и коэффициентом корреляции?
166
22. Как проводится сравнение двух коэффициентов регрессии при больших и
малых п? ч
23. Преобразуйте корреляционное уравнение ty=.rtx в уравнение регрессии.
