Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
более искусствен, нежели регрессия. При регрессии один признак выступает
в качестве независимой переменной, а другой - в качестве зависимой, и
наоборот, причем эти зависимости имеют чаще всего совершенно конкретный
смысл. Математически коэффициент корреляции представляет собой среднюю
геометрическую из двух коэффициентов регрессии.' ¦
В самом деле
У1 - У
Так как г - = Ь, то
(У1 - У) = 6 (*<-*)•
Ьх.у - Г 2*- И Ь".х
° v
У
160
bx.y ' bg.x ~
И
r = V bx.y by.x. (69)
Поэтому как в формуле коэффициента корреляции, так и в формулах
коэффициентов регрессии центральное место занимает сумма произведений
отклонений по ряду л и по ряду у, т. е. 2 (xt - x)(yt - y). Эта сумма
является числителем как в общих формулах коэффициенту корреляции (38),
(39), так и в общей формуле коэффициента регрессии (60) и в сущности
служит настоящим мерилом сопряженной вариации признаков х и у, или,
иначе, так называемой ковариации. Формула ковариации следующая:
rnv - 2 (Ц-^НУ; - у)
LUV^ - п - 1 •
Ковариационный анализ составляет особый раздел современной вариационной
статистики.* Здесь же ковариация упоминается как связующее звено между
корреляционным и регрессионным методами анализа.
Криволинейные зависимости. Хотя прямолинейная зависимость между х и у,
которая рассматривалась в предыдущих разделах главы, является наиболее
простой формой связи, однако она обнаруживается во многих биологических
явлениях и может быть очень Важной для их понимания. Так, например,
известно, что количество возникающих мутаций прямо пропорционально дозе
облучения. Установление этого положения имеет фундаментальное значение.
Оно показывает, что при любой самой маленькой дозе ионизирующих излучений
возникают мутации.
С помощью уравнения прямолинейной регрессии можно определять значение
одного признака по значению другого, что имеет и практический смысл. Так,
связь процента обезжиренного остатка в молоке у с процентом жира х
выражается уравнением • '
у = 8,09+0,253 х.
Поэтому по х можно определить у и наоборот. '
Но нередки случаи, когда связи между х и у оказываются более сложными щ
регрессия ре может быть выражена прямой линией. Так, известно, что с
повышением возраста коров средние удои за лактацию возрастают. Но эта
положительная связь наблюдается примерно до 7-8 лактаций, в дальнейшем
же, наоборот, средние удои падают. Если выразить эти данные на графике,
нанеся на ось абсцисс возраст коров, а на ось ординат - средние удои, то
получится куполообразная кривая, сначала
* С ним 'можно познакомиться по специальной литературе (см. Снеде-кор Дж.
У. Статистические методы, гл. i3 и 14). '
6 П. ф. Ракицкнй
161
подымающаяся вверх, а затем опускающаяся. Характер кривой, таким образом,
отображает реальное биологическое явление, а именно: изменение
лактационной способности коров в процессе их индивидуальной жизни и
развития.
Выражая с помощью регрессии изменение веса животного с возрастом,
обнаруживаем, что в одни периоды жизни линия регрессии окажется прямой, в
другие - постепенно затухающей кривой. Подобные примеры можно привести из
самых различных областей биологии. Поэтому необходимо в каждом конкретном
случае выяснить характер связи и, если она оказывается не прямолинейной,
использовать для ее характеристики более сложные методы, изложенные в
специальных руководствах.* В рамках же нашего элементарного курса
ограничимся рассмотрением лишь некоторых простейших случаев.
Криволинейная регрессия может быть выражена разнообразными кривыми:
параболическими и гиперболическими, экспоненциальными и асимптотическими,
логистическими и др. Все они отражают своеобразие определенных
биологических процессов: Разберем коротко только две из них.
Параболические кривые второго порядка. Выше был приведен пример изменений
удоев за лактацию с возрастом. На графике будет наблюдаться сначала
подъем кривой до максимума, приходящегося примерно на 8-9-ю лактацию,
далее кривая опускается вниз. Такие параболические кривые могут быть
выражены уравнением
у=а + Ьх+сх2. (70)
Это уравнение параболы второго порядка.
Чтобы получить значения параметров а, Ь и с, надо составить и решшь
следующую систему уравнений:
1. па + (2х,)Ь + (2х?)с- = 2&;
2. (2*,) а-Н^ •*/*)& +(2 х?) с = 2*^; (71)
3. (2 х?) а + (2 х?) Ь + (2 xf) с = 2 xfyt.
* Необходимые величины для включения в эти уравнения находят с помощью
вспомогательной таблицы, в которой должны быть ' графы:' xlt У(, xf,
xf, xf, xtyt и xfyr Четыре из них были при составлении
уравнения прямой у - а Ьх.
В дальнейшем надо решить сйстему 3 уравнений обычным применяемым в
алгебре способом: сначала путем уравнения коэффициентов при а
освободиться от первого члена уравнения, сведя 3 уравнения с 3
неизвестными к 2 с 2 неизвестными, и затем тем же способом освободиться
от второго неизвестного. При некотором округлении значений у их
вычисления окажутся не очень громоздкими.
* Плохи некий Й. А. Биометрия, гл. 6; Урбах В. Ю. Биометрические методы,
