Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
одинаковыми.
Естественно, возникает вопрос: каковы же закономерности вариации внутри
каждой совокупности и каково 'взаимоотношение между разными типами
совокупностей? Это дает возможность подойти и к другому важному вопросу,
можно ли по статистическим показателям, полученным на основании изучения
одной совокупности, например выборочной, судить о статистических
показателях других видов совокупности, например генеральной. Иначе
говоря, это вопрос о том, насколько достоверны статистические показатели,
полученные по выборочной совокупности, чтобы можно было судить по ним о
генеральной совокупности.
Распределение вероятностей - основа вариации, Обратимся опять к
вариационному ряду. Выше было разобрано несколько эмпириче-
Количество курочек
Рис. 4. Полигон распределения случаев с разным количеством курочек среди
10 цыплят (общее число случаев - 1024).
59
ских вариационных рядов и показано, что для всех них характерно
Определенное распределение вариант, а именно: чем ближе значения вариант
к средней арифметической, тем выше их частота; чем дальше - тем реже они
встречаются. В конечном счете это распределение вариант основано на
теоретической закономерности уменьшения вероятности встречаемости той или
иной варианты по мере ее удаления от средней.
Для иллюстрации того, что вариационный ряд действительно основан на
вероятности, покажем, как распределяются вероятности появления курочек
среди 10 цыплят. Начнем со случая, когда среди'них нет ни одной курочки
(0), далее 1 курочка из 10 цыплят, 2 курочки, 3 курочки и т. д. и,
наконец, когда все цыплята - курочки (табл. 14).
Таблица 14
Распределение вероятностей появления разного количества курочек среди 10
цыплят
Количество
курочек 0 1'2 3 4 5 6 7 8-9 10
Количество
случаев 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Вероятности 0,001 0,010 0,044 0,117 0,205 0,246 0,205 0,117 0,044 0,010
0,001
Если графически выразить данные табл. 14, то будет получена изображенная
на рис. 4 вариационная кривая (полигон) распределения случаев с разным
количеством курочек среди 10 цыплят. Это так называемая биномиальная
кривая распределения, соответствующая разложению бинома Ньютона. Бино-
миальность кривой распределения можно уяснить на следующем примере.
Представим себе, что мы подбрасываем одновременно 2 монеты. Будем считать
выпадение герба (Г) благоприятным случаем, а выпадение решетки (Р)
неблагоприятным. Возможны 4 случая выпадения герба и решетки.
В первом случае обе монеты выпадут гербами-ввгёрх (ГГ). Во втором на
первой монете вверху герб, на второй - решетка (ГР). В третьем случае на
первой монете вверху решетка, а на второй - герб (РГ). Второй и третий
случаи совпадают по результату. Каждый из них является комбинацией одного
благоприятного (Г) и одного неблагоприятного (Р) случаев. Наконец, в
четвертом случае обе монеты выпадут решетками вверх (РР). Какова же
вероятность каждого результата?
Вероятность выпадения, герба обозначим буквой р, а вероятность выпадения
решетки - q. В данном случае p~q = -g-. Тогда вероятность выпадения двух
монет одновременно гербами вверх равна произведению вероятностей, т. е. р
• р = р*. Вероятность выпадения одной монеты гербом вверх и другой -
решеткой вверх
60
равна р • q. Так как таких случаев с разным i/^ядком наступления
благоприятного и неблагоприятного результатов два, то их вероятности
суммируются: pq + pq - 2pq. Наконец, вероятность сочетания двух
неблагоприятных случаев, т. е. выпадение решетки, равна q • q -ф. Таким
образом, для простейшего примера из 2 событий мы имеем следующее их
распределение:
(p + q)2=p2+2pq + q2.
Такое же рассуждение можно применить к сочетанию 3, 4 и т. д. событий.
Во всех случаях получение вероятности различных сочетаний независимых
событий основывается на том, что вероятности нескольких комбинаций
выражаются членами разложения бинома (p+<7)fe, где k - число независимых
случайных событий, р и q - соответствующие вероятности благоприятных и
неблагоприятных событий. Чтобы получить не отдельные вероятности, а
вероятные численности разных результатов при данном общем числе п, надо
умножить их на это общее число случаев, т. е. испытаний. В приведенном
выше примере число сочетаний разного количества курочек и петушков равно
10, т. е. мы имеем дело с биномом (p+q)10. Его разложение в виде
конкретного количества .случаев каждого сочетания дано во второй строчке
табл. 14 (л =1024), а вероятности отдельных случаев - в третьей строчке.
Сумма вероятностей должна быть равна 1.
В середине XIX в. бельгийский статистик Кетле построил вариационную
кривую, изучив распределение по росту 26000 солдат американской армии.
Кетле пришел к выводу, что распределение особей в вариационном ряду
следует коэффициентам разложения двучлена, возведенного в известную
степень. Вспомним, какими будут коэффициенты при отдельных членах
разложения бинома Ньютона а+Ь при возведении его в разные степени:
(о+&)1 -а-\-Ь,
(о + Ь) 3 = о?+2о& •j- b2,
