Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
I т
- X bt hvv = ? a, Их . (7.31)
V-1 Ц=1
Это условие можно трактовать как условие стационарности по ?-й переменной состояния (суммарное приращение всех переменных на входе интегратора равно нулю).
Для приращения ?-й переменной состояния из (7.31) получаем
р I т
Дх<“—sj; XXК + Za
Lv-i и#г
Заменим теперь единственный компартмент с переменной xi параллельным соединением новых переменных состояния хц, ..., Xis (рис. 7.9,6). Введем также матрицу G, преобразующую координату xt в исходной системе в вектор размерности s в новой системе:
0 = [gt g2 ... ffs]T. (7.33)
Уравнение части системы, обведенной пунктиром, теперь имеет вид
(7.32)
а переменная xi представляет собой сумму переменных х{
Х{ = psXi* ~
Л02 1
(7.35)
М).
где xt — скаляр, x'f' — вектор [х(, xi2 ... *is]T, a F$ — матрица (1Х«).
Fs=l 1 1 ... 1]. (7.86)
Очевидно, что условие неизменности системы состоит в том, чтобы
Ё ?v=1- Sv>0; V = 1, 2....s.
V=l
Из (7.35) и (7.32) для стационарного режима имеем
(7.37)
(7.38)
Vя* I
Пусть, например, gv = 1/s. Тогда приращения всех переменных состояния уменьшились в s раз:
дх. л дх.
(7.39)
1ч
dv
дх1
dv
При достаточно большом s все переменные xiv обладают хорошими гомеостатическими свойствами.
Если вернуться к исходной системе на рис. 7.9, а, то проделанная операция наслоения каналов по ?-й переменной может быть представлена следующим образом. Матрица Qi теперь стала отлнчкой от единичной и «развертывает» единственную переменную состояния х, в вектор x[s\ матрица Q2 «свертывает» этот вектор снова в скаляр, оставляя прочие координаты вектора состояния х неизменными. Следовательно, матрицы Qi и Q2 можно записать в блочном виде
Г Е1 0 0 - Г Е' 0 о -
Qi = 0 О 0 > сь --- 0 F 0
0 0 е2_ 0 0 Е2 _
(7.40)
где G и F определяются (7.33) и (7.36), а Е\, Е2— единичные матрицы размерности (/—1) X (i — 1) и (т — i')X("i — 0. соответственно.
Уравнение состояния для системы, показанной на рис. 7.9, имеет вид
х = QiAQ2x + Bv + Rw. (7.41)
Легко видеть, что матрицы Qt и Q2 — особенные из-за специфического вида матриц F и G, поэтому анализ стационарных режимов такой системы должен производиться аналогично тому, как в разд. 7.5 мы исследовали систему второго порядка. Это, безусловно, является недостатком рассмотренного способа получения гомеостатических свойств в компартментальных моделях, так как ие позволяет пользоваться обычной формулой (5.50) для вычисления стационарных режимов *).
*) Другим недостатком рассмотреииого типа параллельного сочетания механизмов регуляции является то, что, как легко показать, система оказы-ваетси ненаблюдаемой. Однако, хотя вводимые в систему новые переменные состояния и иеиаблюдаемы, это ив мешйет системе улучшать свои гомеостатические свойства.
Рассмотренная структура в принципе позволяет обеспечмть гомеостаз всех переменных системы, если проделать рассмотренную выше операцию па-слоения последовательно для всех координат системы. Матрицы Q, и Q2 в этом случае будут иметь блочный вид:
О, ; 0 I ... 0 1 Г"
о
о
tC
1 _
0 02 \ ... п 0 ; F 21 ... ! 0
» Q2 ---
, О 0 | ... Gm - S
_1 tt,
0
0
где Q(, F{, 1= 1, 2, ..., т., имеют вид, аналогичный (7.33) и (7.36).
Недостатком такой структуры с точки зрения моделирования физиологических систем является то, что в принципе все параллельные каналы при действии возмущающего фактора включаются одновременно. Конечно, при малых коэффициентах передачи г/v включение какой-то части механизмов регуляции происходит достаточно медленно, и стационарное состояние достигается при существенных сдвигах не по всем переменным, но в рамках описанной модели с наслоением параллельных каналов не может быть хорошо известного «эшелонированного» включения механизмов регуляции [334].
Зато безусловным достоинством рассмотренной схемы является ее близость биологическим системам регуляции в следующем смысле. Если темп поступления вещества у в системе определяется множеством переменных X;, а уравнения, связывающие х и у, сложны и нелинейны, то при исследовании реакций системы на малые возмущения можно ограничиться линеаризованной моделью. В этом случае вклад каждого из механизмов регуляции представляется в виде слагаемого, а блок-схема системы имеет вид параллельного соединения множества регулирующих каналов, как показано на рис.7.10 (см. также [240], стр. 23).
