Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
т I
Ук = Л CiXi + Z d,Vj. (7.17)
1=1 ; =1
Поэтому, говоря о сочетании механизмов регуляции при введении в систему новых элементов и новых переменных состояния, мы будем придерживаться следующего определения.
Механизмом регуляции в компартментальной модели мы будем называть любую структурно выделяемую комбинацию сигналов, которая содержит, по крайней мере, одну переменную состояния и оказывает влияние на темпы поступления вещества или энергии в ее компартменты.
В частности, простейшим механизмом регуляции скорости потока некоторого вещества является пассивное управление, осуществляемое концентрацией этого вещества в компартменте. На структурной схеме такой механизм представляет собой интегратор, от выходного сигнала которого зависит темп потока вещества на его входе. Поэтому мы будем моделировать появление нового механизма регуляции введением в схему дополнительного компартмента с соответствующей переменной состояния Xi и говорить о регулирующем механизме (регулирующем канале) Xi.
Пример 7.5.1. Рассмотрим простой пример системы гормональной регуляции [317]. Возьмем процесс движения вещества, показанный на рис. 7.7, а. Здесь q — количество некоторого вещества, темп притока которого равен а скорость элиминацин пропорциональна количеству с коэффициентом к:
q = Wi (t) — kq. (7.18)
Пусть теперь это вещество выступает в роли компартмента в живой системе, и увеличение его концентрации Xi приводит к ускорению темпа секреции некоторого гормона г, концентрация х2 которого в свою очередь увеличивает скорость элиминации q. В линейном приближении имеем
*i = — апх\ — апхг + wu
Х2 = — 0.2 1X 1 — О.22Х2 “Ь ^2,
где к>2—исходная скорость секреции гормона, ап, а\2, агь «22— положительные коэффициенты. Схема модели с регуляцией, имеющей теперь два ком-гиртмента, показана на рис. 7.7,6.
Введение регулирующего сигнала — концентрации гормона г — означает введение в модель дополнительной переменной состояния.
Остановимся еще на толковании понятия «нагрузка» или «напряжение» регуляторных механизмов, часто используемого в физиологических исследованиях. Этот термин описывает прежде всего внешнюю силу, внешнее воздействие на систему. Когда тот или иной механизм «принимает нагрузку на себя», то это значит, что меняется функциональное состояние органов и систем, ответственных за выполнение его регуляторных функций. Напряжение механизма регуляции означает, что координаты вектора состояния в компартментальной модели, описывающие его функционирование, Изменяются, приближаясь к своим пре-
w,(t)
A,j
а)
б)
Рис. 7.7. Простая система гормональной регуляции. Введение регулирующего сигнала — концентрации гормона г — приводит к появлению в модели системы дополнительного компартмента. а) исходная схема движения вещества без регулирующих механизмов; б) схема с учетом регулирующего действия гормона.
дельным значениям. Для пассивных механизмов регуляции напряжение означает изменение (часто сокращение) запасов вещества в соответствующем компартменте, для активных — изменение выходного сигнала активной регулирующей цепи (7.17), вследствие чего его чувствительность к действию возмущающих факторов уменьшается.
а) Модель с одним компартментом. Рассмотрим простую однокомпартментальную модель, показанную на
а)
St
a-f
f)
8)
Рис. 7.8. Простая модель открытой системы, а) схема с одним каналом регуляции. В системе обеспечивается стационарный режим, но отсутствуют гомеостатические свойства; 6) зависимость х (о) при различных значениях коэффициента а в схеме иа рис. 7.8, а; в) схема открытой системы с двумя параллельными каналами регуляции.
рис. 7.8, а. Эта система при а >> 0 устойчива, и ее стационарный режим определяется обычным уравнением (5.50):
Гомеостаз системы определяется чувствительностью х к и; зависимость (7.20) приведена на рис. 7.8, б. Хороший гомеостаз в принципе может быть достигнут при а —> оо. Однако при больших коэффициентах усиления в системах управления обычно возникает тенденция к неустойчивости, и требуются специальные усилия для преодоления этой тенденции [120, 121]. В реальных биосистемах, однако, величины а и b —‘ одного порядка; в случае диффузии, например, а = Ь. Поэтому в простых линейных системах гомеостаз практически обеспечен быть не может, область гомеостаза отсутствует.
б) Модель с двумя компартментами. Рассмотрим, как изменятся свойства этой простой системы, если усложнить ее структуру за счет введения параллельной цепи
регуляции, направленной, как и первая, на поддержание адекватного темпа поступления веществ. Пусть схема имеет два компартмента, соединенные так, как показано на рис. 7.8, в.
Уравнение системы в форме «вход-выход-состояние» имеет вид
х = Ах + Bv + Rw, у = Сх, (7.21)
где
¦Н:«; :«:]• «=[?]• *-[:!]• c=i-“' -“J-
Поскольку матрица А особенная (у нее две одинаковых строки, и поэтому det/l=0), пользоваться обычным уравнением (5.50) для определения стационарного режима системы нельзя. Действительно, уравнение det [^4 — AJ5] =0 дает А,! = 0, ^2==—«1 — «2- Это означает, что система с параллельными регулирующими каналами обладает стационарным режимом, но стационарные значения переменных состояния зависят от начальных условий.
