Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим поведение системы (7.21) подробнее. Ограничимся для простоты случаем ai = a2 = а. Тогда фундаментальная матрица системы, в соответствии с формулой (5.66), равна
ф (А = — Г ^ + е 2Ы) — 0 — в 2a0 "I /у gg)
2 L _ (l+e-2«0J' ( ’
Переходный процесс, вызванный начальными условиями х(0) и приложением внешнего сигнала Дч, определяется формулой (5.61):
t
к (t) = ф (/) х(0) + ^ Ф (t - т) В Av dr. (7.23)
О
Вычислим первое слагаемое, определяемое начальными условиями х10 и х2о:
Ф(0*(0)=-Г (1 + е_2°')^ - о - в_2в0 *ю 1 (724)
ф W (0) 2 L — (1 - e~2ai) xl0 (1 + е-*“) х!0 J ‘ ( >
Компоненты второго слагаемого в (7.23) одинаковы и также легко вычисляются: t
i- 6, Дк J [(1 + e~2a ('"т>) - (1 - е~2а ('~т))] dx = Дк [l - e“2a']. (7.25)
о
Окончательные уравнения переходного процесса для обеих координат имеют вид
(0 = _2'^Jcio — -*2о + е 2а< (*ю + *20) "1--------—0—в 2a()Ji
Хз {t) = у [- *10 + *20 + e~2ctl (xw + x2Q) + •6‘аАи (1 — е_2а0].
В стационарном режиме прм /->00
X ю — ХЗВ b 1 Да О "г '
2 а ’
(7 27)
— х,0 + *20 , Ь 1 До *2= 2 +^-'
Чтобы показать, что схема (7.21) может служить хорошей моделью сочетания механизмов регуляции в открытых системах, положим исходные значения Х|0 = х20 = 0 при v = 0. Тогда в ответ на любое приращение Ди переменные Xi и х2 получают приращения Ах i = Дя2 = До. Легко видеть, что
в системе с двумя каналами это приращение вдвое меньше того, которое получается в системе с одним каналом — однокомпартментальиой модели (7.20). Это получилось потому, что нагрузку, приходившуюся ранее на одну регулирующую переменную хи теперь разделили между собой два параллельно соединенных канала с двумя переменными xt и х2.
Такая система устойчива неасимптотически: возмущения, возникающие в процессе ее функционирования, с течением времени не исчезают. Действительно, пусть начальные условия х10, х2й в (7.27) изменились под действием какого-либо возмущения на ei и ег, соответственно. Тогда в системе установится новый стационарный режим:
ei — е2 , b\hv *1 =------о----+'
2 '2 а ’
, . (7.28)
— 81 -}- 82 , Ь\ UkV
*а==-------2----- 2а *
Хотя обе переменные состояния при этом изменяются, выходной сигнал у остается неизменным:
у = — а (д: 1 + х2) — Ь\До (7.29)
Поэтому стационарный режим в системе поддерживается при произвольных
значениях Xi и х2, лишь бы их сумма удовлетворяла (7.29).
7.6. Сочетание параллельных каналов регуляции
Живые системы — это сложные структуры, в которых можно выделить множество управляющих цепей и механизмов, осуществляющих процессы регуляции. Из технических применений теории управления известно, что усложнение системы, введение дополнительных переменных в ее структуру, приводящее к повышению качества системы, дает и нежелательные последствия, поскольку возникающие побочные эффекты могут привести, в частности, к потере устойчивости системы. Поскольку высокая устойчивость живых систем является общеизвестным фактом, остается признать, что в их структурах природа использует только такие способы усложнения, которые не приводят к потере устойчивости и позволяют относительно просто реализовать сам процесс управления. Некоторые способы такого упрощения процессов управления в сложных живых системах рассмотрены в [223] — принцип «блочного управления», иерархический принцип
росгроспия систем и некоторые друше. Дру1ие способы усложнения систем без ухудшения устойчивосш, возможно, связаны со введением механизмов управления, имеющих сильно «разнесенные» постоянные времени.
Еще одно специфическое свойство процессов управления в живых системах было впервые отмечено Дж. Тракселом [209]: если в технических системах достижение нужного результата обеспечивается, как правило, резкими изменениями одного управляющего сигнала, то в биологических объектах аналогичный результат достигается за счет одновременного изменения множества регулирующих сигналов, каждый из которых при этом получает лишь незначительные приращения. В этом и последующем разделах мы рассмотрим именно такой способ управления в физиологических системах, когда достижение должного результата обеспечивается включением (одновременным или последовательным во времени) множества управляющих механизмов в системе.
Речь будет идти только об анализе систем, так что можно не интересоваться вопросами их устойчивости. Наоборот, для задач синтеза любые структурные преобразования должны вноситься в схему лишь после проверки, не приведут ли они наряду с ожидаемым улучшением качества системы к потере устойчивости.
