Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь, как можно охарактеризовать гомеостатические свойства системы в целом. Коэффициенты чувствительности переменных системы составляют матрицу коэффициентов чувствительности:
[<*(>] — — А~1В, (7.11)
где А, В — матрицы линеаризованной модели системы. В идеале хороший гомеостаз системы мог бы означать, что все элементы матрицы (7.11) малы. Однако этого не приходится ожидать для моделей реальных систем. Поэтому мы будем говорить, что система обладает гомеостатическими свойствами в том случае, когда условия (7.9) выполнены для существенных переменных системы. Что понимать под существенными переменными, следует уточнить в каждом конкретном случае. Ниже мы сделаем попытку охарактеризовать «существенность» переменных, т. е. их вес в гомеостазе целостной системы, с помощью специально выбираемых коэффициентов (см. ниже разд. 8.1).
Остановимся вкратце на вопросе о том, почему гомеостаз системы связывается с малой чувствительностью вектора состояния системы, а не вектора выходов. Дело в том, что внешне поведение системы может быть стабильным, т. е. выходные переменные могут практически не изменяться, даже в том случае, когда изменение окружающих условий вызывает резкие сдвиги внутри системы. Часто эти сдвиги «компенсируются» внутри и проявляются вовне не сразу. Так, в организме человека происходит напряжение регуляторных механизмов (связанное, очевидно, с изменением переменных состояния), которое направлено специально на поддержание выходных переменных (таких, например, как артериальное давление [199]). И только уже весьма значительные сдвиги переменных состояния проявляются как изменение выходов. Вообще говоря, малая чувствительность вектора состояния автоматически влечет за собой и малую
чувствительность вектора выходов системы. В то же время малая чувствительность вектора выходов может не означать малой чувствительности переменных состояния.
Рассмотрим, например, случай, когда система описывается уравнением состояния (5.39) при матрице D = 0. В этом случае х = Ах + Bv, у = Сх. Равенство D = 0 имеет место во многих технических системах. Покажем сначала, что если х не чувствителен к изменениям v, то и все компоненты вектора у малочувствительны к этим изменениям. В соответствии с (5.69) имеем
и при малых ст,-, вектор выхода также малочувствителен к и.
В живых системах матрица D в уравнении выхода, вообще говоря, не является нулевой. Однако, как видно из рассмотренных в разд. 5.8 примеров, отличны от нуля элементы матрицы D, соответствующие в векторе выходов компонентам типа темпов, причем только тем из них, которые определяют обмен веществами и энергией между системой и средой.
Для переменных типа уровней, к которым собственно и относится понятие гомеостаза, все элементы матрицы D равны 0, и формула (7.14) остается справедливой.
Наоборот, малая чувствительность вектора выходов к вектору v в общем случае не означает малой чувствительности вектора состояния. Действительно, пусть матрица С в уравнении состояния (5.49) имеет вид С = [—1 1], а стационарные значения вектора состояния [xt х2]т чувствительны к скалярному
возмущению v: = 1. Чувствительность выходного сигнала в ста-
ционарном режиме тогда равна
Специфический способ образования выходного сигнала не позволяет внутренним сдвигам проявиться вовне; выходной сигнал системы будет оставаться неизменным несмотря на то, что все переменные состояния будут изменяться под воздействием вариаций внешних условий.
Малая чувствительность выходного сигнала часто достигается за счет того, что изменения двух или нескольких сильно меняющихся сигналов — переменных состояния, зависящих от V, — компенсируют друг друга. Внешняя стабильность переменных системы скрывает в этом случае резкие сдвиги, которые могут возникать во внутренней среде системы. Эти сдвиги не-
(7.12)
откуда для к-й компоненты выходного сигиала получаем
(7.13)
Пусть с = max cft;, a=maxa(j, i — 1, 2,..., m. Тогда
(7.14)
наблюдаемы из-за специфического вида матрицы С. Стоит увеличить размерность выходного вектора или другим способом изменить матрицу С, как внутренние сдвиги состояния проявляются вовне и становятся наблюдаемыми. Поэтому гомеостаз системы мы будем связывать с малой чувствительностью именно вектора состояния системы: в терминах пространства состояний гомеостаз системы понимается как малая чувствительность стационарных значений существенных переменных состояния к переменным внешних воздействий.
Итак, система обладает хорошими гомеостатическими свойствами, если для всех ее существенных переменных состояния выполняется условие дх.
-^-<1, t=l, ..., m\ /=1, ...,/• (7.15)
