Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Анаэробные процессы описываются суммарным уравнением
С6Н1206 + 2АДФ -* 2С3Н603 + 2АТФ
31J6V
молочная
кислота
(6.69)
Считая, что скорость синтеза АТФ определяется здесь, в основном, концентрацией АДФ в тканях, получим
У 2 = Г2Х1 (6-70)
где *5 — концентрация АДФ в тканях, г2 — коэффициент.
Рис. 6.6. Схема энергетического снабжения мышечной ткани в организме. Схема в упрощенном виде воспроизводит структуру организма и несколько в более подробном—процессы энергообмена в мышцах. Продукты питания и кислород поступают в организм извие, попадают в кровь и с ней —в ткаии мышц. В ходе происходящих здесь процессов синтеза выделяется энергия, примерно \5% которой представляют собой «полезную» энергию макро-эргических связей, а 8596—«бесполезное» тепло. Тепловая энергия, углекислота и вода снова переносятся кровью и выводятся из организма. Стрелки показывают направление движения крови и транспорта тепла и веществ [194]. Мышечная работа / связана с распадом АТФ, что восполняется в ходе процессов анаэробного 3 и аэробного 4 синтеза. В ходе аэробных процессов образуется и испольвуется молочная и пировиноградиая
кислота 2.
Введем переменные х2 и х4 — концентрации кислорода и молочной кислоты в крови и допустим, что условия функционирования системы определяются единственным внешним фактором — концентрацией кислорода во вдыхаемом воздухе v\. Запишем при этих условиях уравнения системы. Будем считать, что диффузия веществ из ткани в кровь и обратно подчиняется уравнениям (6.14), скорость убывания кислорода и молочной кислоты в ходе реакции определяется (6.33). Пусть также концентрация молочной кислоты в крови уменьшается из-за того, что некоторые органы в организме утилизируют ее со скоростью, пропорциональной этой концентрации. Анаэробные процессы (6.69) увеличивают концентрацию АДФ в тканях. Тогда, вводя соответствующие коэффициенты пропорциональности k\ — kj,
получим
Х\ ~ ky (х2 — Ху) — k^y, х2 = k2(v — х2) — ky (х2 — Ху), х3 = 65У2 — h (*з — хА) — k6yu
Х4 = ?3 (х3 — *4) — k4X4,
Х5 = W — Ух — у2,
(6.71)
где у\ и г/2 определяются уравнениями (6.68) и (6.70). Последнее уравнение описывает динамику АДФ в тканях; изменение содержания АТФ в модели не рассматривается, [F
поскольку в рамках дан-
пись. Блок-схема энергетического снабжения организма в таком виде показана на рис. 6.7.
Здесь х—вектор состояния (х = [ху х2 х3 х4 х5]т), v — вектор возмущающих входов (t> = [i»i]), w — вектор задающих входов (ш = [ш1]). Матрицы имеют следующий вид:
ного описания правые части дифференциальных уравнений для АТФ и АДФ совпадают с точностью до знака. Если, например, обозначить через хв концентрацию АТФ в тканях, то хв = —w + У\ + У1- Координату х6 мы поэтому рассматривать в математическом описании не будем.
Уравнение (6.71) можно записать в компактной форме, используя векторно-матричную за-
Рис. 6.7. Блок-схема компартментальной модели энергоснабжения организма. Задающий сигнал w — темп потребления АТФ. Условия окружающей среды v — концентрация кислорода во вдыхаемом воздухе. Вектор состояния *=[*1** ... *f]T имеет следующие компоненты: х\ и хг— концентрация кислорода в тканях и кровн, Xj и — концентрация молочной кислоты в ткаиях и крови, *5*—концентрация АТФ в тканях. Нелинейные уравнения, описывающие аэробные и анаэробные процессы, выделены в нелинейный блок F; все остальные
процессы в системе линейны.
- — ki ki 0 0 0”
ki — k\ — k2 о о о Ах = 0 0 - кг кг 0
0 0 кг - кг - h 0
_ 0 0 0 0 0 _
- о-0
#1= 0
0
-1 -
L о J
Нелинейный функциональный преобразователь F изображен для компактности записи, он образует из вектора состояния х вектор потоков у= [t/i t/2]T, который поступает на входы компартментов в соответствии с матрицей R2. Выходной сигнал блока F и матрица R2 задаются следующим образом:
(5 X 2) :
О 1 о
— къ
О
-1
(6.73)
c^T~|=^>Q<==j A Вторичные темпа
Однако нас интересует не просто матричное представление, а возможность такого описания системы, при котором в явном
виде выступает уравновешивание первичных и вторичных темпов потоков.
Для каждого из пяти компартментов (начиная с ключевого — пятого) первичные темпы можно определить следующим образом:
