Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. б.З. Общая схема компартментальной модели биосистемы. Скорость изменения вектора концентраций к равна сумме скоростей утилизации, переноса и синтеза компонент» участвующих в обмене веществ. Поскольку величина темпов утилизации ие может регулироваться внутренними механизмами системы, эти темпы играют роль независимых пере меииых—первичных темпов. Регулирующие механизмы должны уравновесить расход компонент их синтезом и доставкой. Поэтому темпы процессов, направленных иа компенсацию трат вещества и энергии, играют роль зависимых переменных —вторичных темпов. В стационарном состоянии вторичные темпы по величине должны быть равны первичным.
среды и) и некоторыми внутренними характеристиками (например, биомассой). Выше эти темпы были обозначены как первичные.
Зависимость темпов потребления от вектора состояния х показана стрелкой в нижней части рисунка. Напомним, что термин «темпы потребления» используется здесь условно, так как соответствующий вектор скоростей описывает не только явления утилизации, но также перемещения и синтеза компонент, необходимых для жизнедеятельности системы: скорость утилизации кислорода и глюкозы в физиологических системах, скорость утилизации солнечной энергии в экосистемах; скорость выделения углекислоты и тепла и скорость образования шлаков во всех типах биосистем. Все эти скорости заданы для кажого из компартментов биосистемы.
Процессы потребления уравновешиваются в биосистеме преобразованием поступающих извне компонент в необходимые •Еля жизнедеятельности вещества, что на схеме показано блоком
«процессы синтеза», и перемещением образовавшихся веществ в те компартменты, где происходит их утилизация («процессы переноса»). В соответствии с принятым выше условным разделением рассматриваемые механизмы включают в себя и процессы выведения из биосистемы продуктов ее жизнедеятельности (отвод углекислоты и тепла из тех компартментов, где они образуются, выведение их в окружающую среду). Скорости процессов синтеза и переноса зависят от вектора концентраций х и от внешних условий v. Кроме того, возможно влияние на эти процессы и вектора w.
Темпы доставки вещества в те компартменты, где происходит их расходование, в биосистемах регулируются. Их величина зависит от темпов расходования и, разумеется, от возможностей регуляторных механизмов, которые стремятся обеспечить баланс вещества и энергии в системе. Выше эти темпы потоков вещества и энергии мы обозначили как вторичные.
Тогда с точки зрения теории управления первичные темпы могут играть в системе роль внешнего задающего сигнала, а вторичные темпы — роль управляемого, выходного сигнала. Ниже, в разд. 7.2, мы подробно остановимся на этом вопросе.
Полная скорость изменения концентраций х каждой компоненты во всех компартментах определяется суммой скоростей утилизации, переноса и синтеза этой компоненты в данном компартменте. Если нас интересуют малые отклонения от некоторых нормальных режимов в системе, то можно линеаризовать все зависимости, указанные на рис. 6.3 в прямоугольниках. В этом случае в соответствии с разд. 3.3 и 5.8 мы получим схему, показанную на рис. 6.4, которая описывается линейными уравнениями с переменными коэффициентами. Если при линеаризации ввести следующие обозначения: процессы переноса компонент
лс(1) = А\Х + B\v + QiW, (6.60)
процессы синтеза компонент
х{2} = А2х + B2v + Q2w, (6.61)
скорость потребления компонент
х(з) = ftw + Рх -f Sv, (6.62)
то вторичные темпы, как об этом говорилось выше, определяются суммой (6.60) и (6.61), а первичные темпы — соотношением (6.62). Обозначив
А = А1 + А2, В = В, + ВЪ Q = Q, + Q2, (6.63)
получим линейную схему, показанную на рис. 6.4.
Уравнения состояния системы в этом случае имеют вид
*=(4 + P)* + fB + S)i> + (/? + Q)a», (6.64)
где х—вектор состояния системы, v и w — входные сигналы, А, Р, В, S, R, Q — матрицы соответствующих размерностей. Уравнение (6.64) можно переписать в обычном виде уравнений состояния для линейных систем (первое уравнение в (5.39)), если должным образом переобозначить матрицы в (6.64).
Строго говоря, этот подход применим в том случае, если выполнены условия, при которых о поведении исходной нелинейной системы можно судить по первому приближению
V
I s |
4 Вторичные
, темпы ,
{TjJ
U> 3HBpmt
Рис. 6.4. Схема линеаризованной компартментальной модели. Первичные темпы в модели зависят от режима работы системы, условий внешней среды и, наконец, от некоторых переменных состояния системы, таких как общий объем или биомасса (матрицы R, S и Р, соответственно). Вторичные темпы регулируются внутренними механизмами управления к поддерживаются равными величинам первичных темпов (матрицы А, В и Q).
(см. разд. 5.5). Если в исходной нелинейной системе существует стационарный режим, при котором переменные системы перестают изменяться во времени, то и в линеаризованной системе в конце концов устанавливается стационарное состояние, при котором процессы утилизации и доставки (синтеза и переноса) всех компонент уравновешены, так что
