Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
0 1 0 | — ^(3X3)-
О 0 1.
Собственные числа матрицы. Собственные (характеристические) числа Ль ..., Кп произвольной квадратной матрицы А определяются как решения, или корни, характеристического уравнения для матрицы А:
det[A,? — Л] = 0. (5.25)
Матрица размерности (п X п) имеет п собственных чисел. Найдем, например, собственные числа матрицы
Г2 —2 3-|
A = U 1 П. (5.26)
Характеристическое уравнение имеет ви.
[Я — 2 2 -3 1
— 1 Я — 1 —1 I
-1 -3 Л+ U
= Я,3 — 2Ъ2 — 5Л + 6 = (Я — 1) (А + 2) (X — 3) = 0
Определитель обращается в нуль при трех значениях К : A,i = 1,
А.2 — —2, = 3. Это — собственные числа матрицы А. Собствен-
ные числа могут быть действительными или комплексными.
Сумма собственных чисел называется следом матрицы и обозначается tr А:
tr А = Л] + \2 К- (5-27)
След матрицы можно получить, не находя ее собственных чисел, так как он равен сумме ее диагональных элементов:
tr A=tait. (5.28)
Ранг матрицы. Для матриц произвольной размерности (п X т) минором I-го порядка называется определитель, получающийся из исходной матрицы после вычеркивания любых (п — I) строк и (m — I) столбцов. Максимальный размер отличных от нуля миноров матрицы называется ее рангом. Например, ранг матрицы
Г1 0 0 0] Lo 0 2 Oj
равен двум, так как минор, составленный из первого и третьего столбцов, отличен от нуля.
Блочные матрицы. Несколько матриц или векторов можно объединить в одну матрицу или вектор, которые будут в этом случае называться блочными. Наоборот, матрицу (вектор) можно свести к другой матрице (вектору), составленной из элементов, которые являются подматрицами (подвекторами).
Например, проводя пунктирные линии на матрице А размерности (3X3), можно записать матрицу (2X2), составленную из подматриц Аи Аъ Аг и А4, следующим образом:
А =
а и ¦ а и а и
021 [ а22 аз] j аз2
«23
Язз
где
гл, ;Л3-|
= [лЛХ]’
Atл,=]% Д.
(5.29)
Действия над блочными матрицами выполняются так же, как над обычными матрицами при условии, что подматрицы при выполнении действий умножения и сложения согласуются (т. е. имеют соответствующие размерности).
Некоторые операции над матрицами удобно производить, представляя их в виде блочных. Так, операцию взятия обратной матрицы от блочной матрицы можно выполнить, воспользовавшись следующей формулой. Пусть А(пхп), B(nxm>, C(mxrt), D(mxm) — подматрицы некоторой блочной матрицы. Тогда
ГЛ1Я-Г1 Г(Л --ВР-'с)"1_______ I - (л - во-’ср-'до-1]
LcTdJ = L-lb"-cJ-’Bp'c/”1 j (D -СА~]В)~' ]¦ (5,3°)
П p о и з в одная и интеграл от матрицы. Обычные способы получения производных и интегралов по определению переносятся на случай матриц при условии сохранения первоначального порядка сомножителей. Так, при дифференцировании и интегрировании по времени имеем
(5.31)
«12 (0 J5*
_1
Л (0 = A (t) = <*2, (0 to «2n V)
>. (0 “m2 W
^ «и (0 dt
“ml W dt
S «12 (0 dt
Sam2W dt
... \)au(t)dt \amnV)dt.
Ниже нам понадобится брать производную вектора по вектору. Производная m-мерного вектора х по /-мерному вектору b есть матрица (тХО [104]:
dx
db
dx | dx i dx i
dbt db, db!
dxi dx 2 dx 2
dbl db2 db[
dx dx dx„
m m
dbx db2 db{
(5.33)
Пример 5.1.2. Пусть вектор стационарных концентраций веществ в отсеках некоторой открытой системы есть х = [х\ я2]т, где Х\ — концентрация вещества в первом отсеке, хг — во втором. Вектор внешних условий системы тот же, что в примере 5.1.1. Чувствительность вектора стационарных концентраций х размерности 2 к внешним условиям v (вектор размерности 3) определяется производной dxjdv — матрицей размерности (2X3):
Г dxi dx i dx i -j
dx dv i dv 2 dv з
dv dx 2 dx 2 dx 2
. dv i dv2 dv3 .
(5.34)
5.2. Понятие состояния в биологических науках и в теории управления
В биологических науках интуитивно сформулировалось представление о состоянии системы как об очень широком круге показателей и характеристик, определяющих ее функционирование и реакции на различные внешние факторы. В физиологии, например, говорят о нормальном состоянии организма, если все его переменные и их реакции на внешние стимулы находятся в допустимых пределах. Понятие внутреннего состояния организма в сравнительной физиологии эквивалентно понятию функционального уровня и учитывает скорости движения веществ, скорости протекания различных процессов и такие характеристики, как температура тела [166]. Еще более широко термин «состояние» используется в биогеоценологии как аналог некоторых интегральных характеристик биосистемы. Так, важным показателем является «состояние биоценотической системы в целом и в особенности ее устойчивости во времени» [204].
