Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
yr — crlxl 4" • • • 4" crmxm 4- driVi 4- ... 4- drtVt,
где x\, ..., xm — переменные состояния, vu ..., Vi — входы, У\,..., yr — выходы, а все величины a, b, с, d — коэффициенты.
На основании изложенного в разд. 5.1 мы можем записать уравнения состояния системы при помощи матриц:
х-
У-
¦ Ах -f Bv, ¦¦ Сх -f Dv,
(5.39)
где А(тхт)> B(mxi)i Cfrym), D^rxi) матрицы (если коэффициенты
а, Ь, с или d в (5.20) или (5.21) меняются во времени, то и матрицы будут иметь переменные элементы), а
(5.40)
— вектор состояния, вектор входов и вектор выходов, соответственно. Отметим, что матрица А в (5.39) всегда квадратная, а остальные матрицы необязательно квадратные.
Пара векторных уравнений (5.39) иногда называется уравнениями, вход-выход-состояние. В этом случае говорят, что и
сама система описывает-
1 "»Г 1
* * »2
м ---
J
X = X , V = -Vl- , у = -У г-
*- т-
ся в терминах «вход-вы-ход-состояние».
Систему, описываемую уравнениями (5.39), можно изобразить графически (рис. 5.2). Схема эта полностью аналогична одномерной схеме, которая получается в том случае, когда х, у, v — обычные скалярные величины, А, В, С, D — числовые коэффициенты, с той разницей, что векторные связи мы изображаем двойной широкой стрелкой.
Пример 5.3.1. Представим схему дыхательного хемостата из примера 5.2.1 в матричном виде и запишем ее уравнение состояния. Введем следующие обозначения: о, = Fu v2 — М, из — h — входы, х, = 0Т, х2 = 0Т — переменные состояния, у, = 0а, у2 = 0Т — выходы Тогда
В *-ia-
— векторы входов, состояния и выходов, соответственно Уравнения системы имеют в этих обозначениях следующий вид: уравнения состояния
Х\ — —ах | — Ьх 2 + »| + С1>2, х2 = хг,
у | => dx | + gx2 + Os,
Уг = хг.
При помощи матриц эти уравнения можно записать так
¦* — ^(2X2)* + ^(2X3)°’
У = С(2х2)* "Ь ^(2хЗ)°>
(5.42)
где матрицы имеют следующий вид:
(5.43)
Эти матрицы получаются непосредственно из уравнения (5.41): их элементы суть просто коэффициенты при соответствующих координатах вектора; если некоторая координата вектора отсутствует в правой части уравнения, то в матрице на этом месте ставится нуль.
Линеаризация нелинейных моделей биосистем. Поскольку все биесистемы обладают нелинейными характеристиками, построение для них линейных моделей осуществляется путем линеаризации исходных характеристик, о которой мы говорили в разд. 3.3.
Опишем процесс линеаризации для системы нелинейных уравнений состояния (5.36). Обозначим в исходной нелинейной системе векторы переменных входа, выхода и состояния прописными буквами X, Y, V, соответственно. Тогда
Пусть нас интересует движение системы при малых отклонениях условий ее функционирования V от некоторых заданных V* (например, поведение экосистем при небольшом изменении условий обитания или поведение функций и органов организма при изменении его режима функционирования — интенсивности мышечной работы).
Если при V = V* в системе осуществлялось движение X — = X*(t), У — Y*(t), то можно ввести обозначения
Тогда, раскладывая функции в правых частях уравнений системы (5.44) в ряды Тейлора в точке (X*, К*) и ограничиваясь
Л (/) = Ф [X (/), V(t)}, ПО = №(/), К (/)].
(5.44)
о(0== и (О-Г (0, x(i) = x (о — х* (о
y(t) = Y(t)-Y*(t).
(5.45)
линейными членами, получаем Г (/) + *(/) = Ф (Г, П +
<?Ф
Y*(t) + y(t) = V(X*, V*) +
дХ
d'F
дХ
Х=Х* V — V*
х~х*
V-V*
X +
У +
дФ
dV \х=х'
V—V*
ач'
V,
3V
(5.46)
V.
х~х*
v=v*
Производная вектора (функции) Ф по вектору X в (5.46), так же как и остальные производные, согласно (5.33) являются матрицами. Обозначим поэтому
А = С =
дФ
дХ
dW
дХ
X*. V*
X*. V*
В =
D ¦
дФ
dV
dW
dV
Ix*, v*
X*, V*
(5.47)
Поскольку Я*(1) = Ф(Х*, 1/*), У*(0 = ЧГ(Х*, V*), имеем с учетом (5.47)
x(t) = A(t)x + В (/) v,
у (/) = С (/)* + D{i)v. (5>48)
Матрицы А, В, С и D имеют переменные во времени элементы, поскольку линеаризация зависимостей в (5.46) производится каждый раз в различных точках X*(t), V*{t).
Если нас интересует стационарный режим исходной системы при V = const, когда переменные системы перестают изменяться во времени, то с течением времени X*(t) сходится к стационарному значению X, а матрицы А, В, С, D в таком режиме оказываются обычными матрицами с постоянными элементами
(5.39).
