Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
чувствительности обеих переменных состояния ко всем трем входам. Устой-
чивость хемостата зависит от соотношения коэффициентов а и Ь (см. пример 5.5.1); чувствительность состояния, кроме того, определяется и значением с.
Устойчивость и чувствительность системы, как мы уже говорили раньше, представляют собой два ее различных свойства. Устойчивость системы определяется свойствами одной лишь матрицы А\ чувствительность стационарных режимов — свойствами матриц Л и В. Устойчивость есть свойство системы возвращаться в исходное состояние при наличии начальных условий, отличающихся от стационарных, независимо от причин, приводящих к таким начальным условиям. Например, эти условия могут возникнуть после кратковременного возмущения состояния при постоянных условиях внешней среды. Чувствительность (5.68) характеризует способность системы сохранять
или изменять свои реакции на внешние возмущения (и сохранять свои стационарные значения переменных) при изменении параметров внешней среды. Предполагается, что однажды изменившись, внешний параметр должен оставаться на новом уровне в течение всего времени рассмотрения системы.
Некоторые биологические аспекты понятия чувствительности мы уже обсудили в разд. 3.7.
5.7. Наблюдаемость и управляемость
Как ясно из предыдущих разделов, основное методологическое различие между классическим подходом (вход-выход) и методом пространства состояний (вход-выход-состояние) заключается в следующем.
При классическом подходе исследователь выделяет из всего объекта только те цепи, по которым проходит сигнал от различных входов до интересующего его выхода; все остальное в объекте остается вне рамок рассмотрения. Поскольку такая цепь может оказаться достаточно длинной, уравнения «вход-выход», описывающие ее свойства, имеют обычно высокий порядок. В теории многосвязных систем этот метод распространяется на случай нескольких входов и выходов, что усложняет рассмотрение, но не меняет основной идеи.
При использовании метода пространства состояний исследователя прежде всего интересует целостная картина объекта. Выписывая уравнения состояния в отличие от уравнения в терминах «вход-выход», мы допускаем тем самым, что в объекте могут существовать процессы и переменные, не проявляющиеся в доступных исследователю выходных процессах. Объект, описываемый уравнениями состояния, «живет собственной жизнью», открывающейся для исследования только через наблюдение некоторого количества выходных сигналов. Связь объекта с внешним миром достигается через его входы (в частности, управление таким объектом производится через вектор входов) и выходы (только выходные переменные доступны наблюдению). Такой подход должен глубоко импонировать специалистам-биологам.
Разница в постановке задачи исследования системы при классическом подходе и методе пространства состояний условно иллюстрируется рис. 5.3.
Понятия управляемости и наблюдаемости как раз и возникли в связи с таким новым подходом к исследованию системы. Интерес к этим понятиям объясняется желанием получить ответ на следующие вопросы. При каких условиях можно восстановить поведение вектора состояния системы, зная поведение выходного вектора на некотором интервале времени? При каких условиях можно перевести систему из заданного начального со-
стояния в требуемое конечное состояние за ограниченное время?
Если структура системы (т. е. вид матриц Л и С в (5.39)) такова, что по заданному выходному сигналу y(t) можно однозначно восстановить x(t), то говорят о наблюдаемости системы. Точнее, состояние л (г'о) называется наблюдаемым в момент времени to, если можно указать интервал времени t ^ t0 ==S Т такой, что по известным значениям v(t) и y(t), t ==2 to ^ Т, можно найти х(/о)- Если все состояния наблюдаемы в любой момент времени, то говорят, что система полностью наблюдаема.
Объект
а)
б)
Рис 5.3. Разница между классическим подходом и методом пространства состояний. а) При классическом подходе исследователя не интересует объект как целое: он выделяет в нем только некоторые пути от входов u=[0i t»2]T к выходам y — iyi у*]1. На «карте» объекта —обширные «белые пятна»; б) при исследовании методом пространства состояний объект рассматривается как целостная система во всей совокупности своих переменных, описываемая матрицей Д. Однако доступ воз-можен лишь к некоторым из внутренних переменных х, н он осуществляется через внешние воздействия v; наблюдению доступны тоже лишь некоторые нз переменных х через посредство вектора наблюдаемых выходных переменных у. Обозначенные двойной лниией дуги В и С символизируют матрицы системы,
показанные на рнс. 5.2.
Управляемость системы означает, что при заданном виде матриц Л и В в (5.39) существует такое управление, которое за конечное время переводит систему из любого начального состояния в некоторое заданное конечное состояние (например, в состояние равновесия). Точнее, если заданное конечное состояние х(Т) может быть достигнуто из начального состояния x(to), то состояние x(to) называется управляемым в момент времени to- Если все состояния системы управляемы в любой момент времени, то система полностью управляема.
