Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
_Метод пространства состояний в теории управления пришел на смену классическому подходу, основанному на идее черного ящика, когда система исследовалась только на основе анализа соотношений между ее входами и выходами. Метод «черного ящика» в сложных системах оказался неадекватным, поскольку реакции выхода на один и тот же вход оказываются при таком
описании неоднозначными (факт, известный и в биологии). Описание системы с помощью передаточной функции не позволяет учитывать влияние внутренних переменных и входов, имеющихся в системе между рассматриваемыми входом и выходом (см. [46], т. III, стр. 228). Когда эти переменные меняются, меняются и свойства системы — реакции на один и тот же входной сигнал зависят от их значений. Этот недостаток и устраняется введением в рассмотрение понятия состояния системы. Знание состояния системы позволяет всегда однозначно определить любые ее характеристики и в этом смысле является исчерпывающим описанием системы.
Пример 5.2.2. Дыхательный хемостат Ф. Гродинза ([60], уравнения VII. 24 и VII. 26) имеет три входа и два выхода и описывается двумя дифференциальными уравнениями второго и первого порядка:
0т “Ь Д0т + т 0* + сМ, 0а = ^0т g0T Л,
(5.35)
М
/
d
/
-6т
где 0,- — входной сигнал (концентрация углекислоты во вдыхаемом воздухе), М — входной сигнал (темп выделения С02 в процессе метаболизма; в работе Ф. Гродинза считается постоянным), h — входной сигнал (вспомогательная константа), 0Т — выходной сигнал (концентрация С02 в тканях), 0а — выходной сигнал (концентрация С02 в артериальной крови), а, Ь, с, d, g — параметры (коэффициенты, определяемые структурой дыхательной системы).
Схема моделирования ([60], стр. 164) приведена на рис. 5.1. В схеме имеется два интегратора с выходными переменными 0Т и 0Т. Они и образуют вектор состояния системы. Обозначив х: =0Т, Хч = 0Т) получаем вектор состояния в виде
х = [х, лг2]т.
Модель Ф. Гродинза не относится к упомянутому выше классу компартментальных моделей. Основной чертой таких моделей является выделение каждого интересующего исследователя объема вещества, перемещающегося и преобразующегося в системе, в ее независимый элемент — компартмент. Тогда каждому компартменту отвечает своя переменная состояния. В рассматриваемом же случае своя переменная состояния отвечает только одному из двух представляющих интерес объемов вещества, а именно количеству С02 в тканях. Поскольку модель Ф. Гродинза не является компартментальной, ее вектор состояния не описывает уровней вещества в системе. Уровни вещества представляют собой выходные сигналы модели.
Рис. 5.1.
Схема моделирования дыхательного хемостата Гролитпа.
5.3. Уравнения состояния
Поскольку достаточным описанием системы является задание в каждый момент времени ее вектора состояния и вектора входов, то в современной теории управления динамические свойства системы описываются с помощью уравнений, связываю-
щих между собой ее состояния и входы в различные моменты времени. Что касается выходных сигналов системы, то они выражаются через вектор состояния с помощью отдельного уравнения.
В такой форме система описывается парой уравнений, из которых первое — дифференциальное — определяет состояние системы и тем самым задает ее динамические свойства. Второе уравнение—алгебраическое — определяет выходы системы через ее текущее состояние.
Обозначив вектор состояния системы через х, вектор входов через V, вектор выходов через у, можно записать уравнения непрерывной детерминированной системы в виде
*(/) = Ф[*(0, о(/)],
y(t) = 4![x{t), ( ]
Первое уравнение в (5.36) называется уравнением состояния, а второе — уравнением выхода. Уравнение состояния обычно бывает дифференциальным (в дискретных системах — разностным), а уравнение выхода—всегда алгебраическое.
Оба уравнения в (5.36) написаны для векторов. Когда по--добные уравнения переписываются покоординатно, т. е. выписываются порознь для каждой координаты вектора состояния, исходная динамическая система определяется уже не одним, а несколькими уравнениями состояния и несколькими уравнениями выхода. Число таких уравнений равно, очевидно, числу компонент в векторе состояния и в векторе выхода.
Для системы, описываемой линейными дифференциальными уравнениями, уравнения состояния записываются следующим образом:
*1 = Яц*1 4" ftl2*2 4" • • • 4" CL\mXm 4" b\\Vг 4" ^12и2 4" • • • 4" b\iVi, x2 = <*21*1 4" <*22*2 4* • • ¦ 4" a2mxm 4" ^21yl 4" ^22y2 4" • • • 4" b2iV[,
Xm== Clm\X\ 4" Clm2X2 4- • • • 4- 4“ ^ml^l 4" ^m2^2 4“ • ¦ • 4“ ^nil’ll*
(5.37)
а уравнения выхода задаются системой алгебраических уравнений
У\ — СПХ1 4- • • • 4- С1 mxm 4" di\V\ -f- ... 4" dnV[t
У2= c2ixi 4" • • • 4" c2mxm 4- ^21^1 4" ••• 4" ^ ggj
