Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
0==[У2] (5-3)
Поскольку вектор имеет всего один столбец, индекс у его элементов одинарный, и обозначает он номер строки.
Матрица А, имеющая m строк и п столбцов, называется (m X п) -матрицей или матрицей размерности (или порядка) m на п. В этом случае иногда пишут А(тхп). Вектор (5.3) является матрицей размерности три на один: i»(3Xi): 0 векторе говорят — вектор размерности 3.
Если оба размера матрицы совпадают, то матрица А^пхп) называется квадратной. Квадратная матрица имеет диагональ, состоящую из элементов ац, аг2. ... ,апп. Если все элементы, кроме диагональных, равны нулю, матрица называется диагональной.
Диагональная матрица иногда обозначается как [diaga,,]:
(5.4)
~ ап 0 0 • • • о -
0 а22 0 • 0
[diag аи] = 0 0 0-33 0
_ 0 0 0 • апп _
Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны 1, матрица называется единичной и обозначается символом Е:
¦\ 0 • • 0-
Е = 0 I • • 0 (5.5)
.0 0 • ¦ 1.
Если в матрице А все столбцы поменять местами со строками, то такая матрица называется транспонированной и обозначается А\
Например, для матрицы А = [^ ^транспонированная матрица имеет вид Лт = ^ Транспонированный вектор-стол-
бец дает вектор-строку. Так, транспонируя вектор (5.3), получаем
wT = [wj v2 о3]. (5.6)
Транспонировать вектор, в частности, удобно для экономии места при записи, если записывать его так:
0 = [0l щ Оз]т.
(5.7)
Для исследования сложных систем приходится обращаться с векторами и матрицами примерно так же, как при исследовании простых систем мы оперируем с переменными и коэффициентами. Рассмотрим поэтому простейшие действия с матрицами.
Сложение и умножение матриц. Складывать можно матрицы одной размерности, например (m'Xl). Суммой матриц А и В одной размерности служит матрица С той же размерности, каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов матриц Л и В:
Сц — Яг/ + Ьц. Разность матриц D = А — В имеет элементы
dil — ац ~ Ьц.
(5.8)
(5.9)
Две матрицы одной размерности называются равными, если их соответствующие элементы одинаковы, т. е.
А = В, (5.10)
только если а;/ = Ьц для всех i, /.
Произведение матриц обозначается следующим образом: С = АВ. Умножать можно матрицы, у которых внутренний размер совпадает. Так, если имеем Л(тхл), В(ПХк), то внутренний размер этой пары есть п, и можно выполнить операцию умножения. Элементы матрицы произведения С при этом получаются посредством перемножения и суммирования элементов исходных матриц, а именно для получения элемента с номером (i, /) надо по очереди перемножить пары элементов i-й строки матрицы А и /-го столбца матрицы В (первый с первым, второй со вторым и т. д.), а затем просуммировать их.
Найдем, например, элемент с номером (2, 3) матрицы С, являющейся произведением двух матриц С = АВ, где
г 1 3 н
Г1 2 0 31
Д(2Х4)=|_1 0 2 —1J’
6(4X3) =
-1 I 2
0 2 3 . 2 4 4J
(5-11)
Матрицы можно перемножить, так как их внутренние размеры совпадают. Элемент с2з, например, равен сумме попарных произведений элементов второй строки матрицы А, на элементы третьего столбца матрицы В\
с23= 1 . 1 + 0-2 + 2-3 + (-1). 4 = 3.
Чтобы найти произведение матриц, надо поочередно найти все элементы матрицы С. Размерность матрицы С будет определяться внешними размерами сомножителей:
A{jnxn)B(nx.k) — C(mxk)‘ (5.12)
Найдем, в частности, произведение матриц А и В из (5.11).
Имеем
^(2Х4)б(4ХЗ) = С(2ХЗ) =
_Г1-2 + 6 3+2+12 1+4+121 Г 5 17 17Т
~L 1-2 3 + 4-4 1+6- 4J — L—1 3 ЗГ
Общее правило для определения элемента с номером (г, /) матрицы С можно записать в виде формулы
П
сц=Т,а1уЬч!, (5.13)
V*1
где п — внутренний размер пары матриц А и В.
Легко видеть, что при умножении матриц их нельзя менять местами (операция умножения матриц некоммутативна). Для матриц А(тхп) и Binxm) существуют как произведение АВ, так и произведение ВА, но размерность получающейся матрицы будет (т'Хт) в первом случае и (п X п)—во втором. В этом случае говорят, что матрица А умножается на В справа и слева, соответственно. Даже для квадратных матриц, вообще говоря, АВ ф ВА.
Умножим, например, матрицу Л(2*з) на матрицу J3(3x2) сначала справа, а потом слева. Пусть
Умножим теперь матрицу Л(2хз) из (5.14) справа на вектор (5.3). Имеем
Матрица Л у имеет размерность (2 X 1), т. е. является вектором.
При умножении матрицы или вектора на единичную матрицу умножаемая матрица или вектор не изменяются. Умножим, например, ?(2х2) на матрицу Л(2хз):
