Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
цируемые в окрестности начала координат функции, /((0, 0,..., 0, t) а 0. В окрестности начала координат система описывается уравнениями
П
&{ = ? ацх + Rt (ATj.....0’ ' = 1.2....п, (5.59)
/=1
которые получаются при разложении правых частей (5.58) по х в окрестности начала координат по формуле Тейлора. Отметим, что это описание системы — не приближенное, а полное.
Вместо точки покоя системы (5.58) можно исследовать на устойчивость точку покоя системы
к = Ах, (5 60)
где А = [а/;]. Система (5.60) называется системой уравнений первого приближения для системы (5.58).
Если элементы матрицы А не зависят от времени, говорят, что система (5.59) стационарна в первом приближении. Для стационарных в первом приближении систем суждение об устойчивости исходной нелинейной системы возможно в том случае, если все члены /?,• в (5.59) ограничены (т. е. нигде не обращаются в бесконечность при 0 ^ с») и разлагаются в ряды по
степеням хи хг, ..., хп в некоторой области ^ х2 ^ е, причем разложения
«=i
начинаются с членов не ниже второго порядка.
Краткое изложение соответствующих теорем и простые примеры имеются, например, в [94].
Аналитическое решение матричных дифференциальных уравнений в линейном случае получается следующим образом. Для уравнения х. = Ах Bv имеем
t
х (t) = Ф (t) лг (0) -f- ^ Ф (t — т) Bv (т) dx, (5.61)
о
где Ф(0 — фундаментальная матрица системы, или переходная матрица состояний. Для систем с постоянными коэффициентами, у которых матрица А имеет п различных собственных значений, фундаментальная матрица может быть вычислена по теореме Сильвестра (см. [240], разд. V):
® (') = Z (II scrbr1л - ¦ <6-62»
'Ч /;\ ' )
Вычислим, например, фундаментальную матрицу для системы с матрицей Л"[-2 _!]¦
Собственные значения матрицы А различны: Я1 = —1, Яг = —2. Тогда в (5.62) под знаком произведения при i — 1 остается только член с / = 2, а прн г = 2 — только член с / = 1. Поэтому
Выход системы получается, если выражение x(t) подставить в уравнение выхода (5.38):
Обычно в примерах и выкладках, которые включаются в учебники и пособия по теории управления, рассматриваются системы второго порядка. Для таких систем удобно пользоваться выражением для фундаментальной матрицы, записанным в явном виде. Если система второго порядка описывается уравнением
а собственные числа и Я2, корни характеристического уравнения
5.6. Чувствительность
Стационарный режим в системе определяется ее внутренними свойствами (структурой и параметрами) и условиями внешней среды (входами). Состояние х и выход у в стационарном режиме определяются формулами (5.50) и (5.55):
Свойства системы задаются матрицами А, В, С и D. Их можно трактовать следующим образом. Матрицы А н В определяю г внутренние свойства системы: А — основная матрица системы,
у (0 = СФх (0) + \ COBv {%) dx + Dv (*). (5.63)
о
Х\ = ЯцХ\ -j- а \2Х2, х2 = a2lXi -j- а22х2,
(5.64)
Я2 — (ац -f- а12) к -f- (апа22 — й\2а-2\) — 0. (5
(5.65)
различны, то
(ап — Яг) * — (вп — Я[) агг (е^ * ~ в^2*)
]
(5.66)
Х — — А 'fiu, y = Dv — CA~lBv.
(5.67)
от ее вида зависит, как было выяснено в предыдущем разделе, устойчивость системы; В— матрица связи, эта матрица определяет структуру влияния входов на переменные состояния, иногда она называется матрицей управления. Матрицы С и D не определяют внутренних свойств системы; они лишь показывают, как состояние системы отражается на ее внешних реакциях — выходах у. В технических задачах часто D = О, поэтому представительство переменных состояния в выходном векторе определяется только матрицей С, которая в теории управления иногда называется матрицей наблюдения.
В биологических задачах, как мы увидим ниже, могут быть ненулевыми как С, так и D (матрица D отражает, например, свойства процессов обмена веществами и энергией между системой и средой; с таким случаем мы столкнемся ниже в примере системы терморегуляции — см. (5.87)).
Чувствительность вектора стационарных значений переменных состояния к вектору стационарных значений входов v есть d х
производная Согласно (5.34) и (5.67) имеем
*jL=-A~xB. (5.68)
Аналогично, чувствительность выходного вектора есть
||- = 0-СЛ_1В. (5.69)
Например, матрица —А~'В в дыхательном хемостате Ф. Гродинза (5.52) имеет вид
ГО 0 0-1
[т Т °J
Эта матрица в системе дыхательного хемостата определяет коэффициенты
