Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Новосельцев В.Н. -> "Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств" -> 60

Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.

Новосельцев В.Н. Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств — Наука , 1978. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaupravleniyabiosistemi1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 137 >> Следующая

5.4. Решение уравнений. Стационарный режим системы
При исследовании биосистем мы часто интересуемся их стационарными состояниями. В терминах открытых систем, разумеется, следует говорить о стационарном неравновесном состоянии, хотя в теории управления и в биокибернетических работах можно встретить термин равновесный режим системы. Под равновесием при этом, конечно, должны пониматься режимы, когда уравновешены все силы, действующие в системе, уровни перестают меняться, а темпы процессов сохраняются постоянными.
В стационарном режиме при v = const вектор состояния не меняется, х =0, и дифференциальное уравнение состояния
(5.39) переходит в алгебраическое уравнение
Это уравнение надо разрешить относительно х, т. е. записать х в виде некоторой функции от v. Проделаем это следующим образом.
Пусть А — неособенная матрица. Напомним, что А в уравнениях системы — всегда квадратная матрица. Возьмем уравнение Ах -f Bv = 0 и умножим все его члены на А~1 слева. Тогда А~хАх -f A~lBv = 0, и так как А~1Ах — Ех = х, получаем
x=-A~'Bv. (5.50)
Пример 5.4.1. Решим уравнения для дыхательного хемостата Гродинза (5.42). В стационарном режиме имеем Ах + Bv — 0, т. е.
Г-а —ЬЛ , П с О!
L 1 oj * + Lo 0 oj0 — °’
где х — вектор размерности 2, v — вектор размерности 3. Найдем Л-1. Имеем
ГО ЬЛ Adj Л = [_1 _aJ, det A = b.
Тогда
0 1-
-*[7? M-i -4
(5.51)
Стационарное состояние х определяется уравнением (5.50):
0 П_. ГО 0 о-
x = -A~lBv-
[0 1-1 ГО 0 0-1
-I S »]”“Ll j °г №62)
Можно записать решение для каждой из координат:
ГО 0 0"1 ГоП
И-[т т »][::]¦ №)
откуда
*1 = 0,
Ц| , cv2 (6.54)
Ь ^ ь •
Решив уравнение состояния, можно определить выходы системы, так как они связаны с состоянием алгебраическим уравнением (5.39). Подставляя х из (5.50) и помня о необходимости соблюдения порядка сомножителей, получаем
y = -CA~'Bv + Dv = (D — CA~lB)v. (5.55)
Пример 5.4.2. Найдем стационарные значения выходных сигналов в
модели дыхательного хемостата. Из (5.42), (5.43) и (5.54) имеем
-(в: з-в я[*: ф-Ц:
eg
Ь
V. (5.56)
Расписав это векторное уравнение покоординатно, можно, как и в предыдущем примере, найти у\ и у2:
S се
У 1 = —4-»i-------r-o2 + v,.
° 0 (5.57)
5.5. Устойчивость системы и переходные режимы
Переходный процесс возникает в системе либо при изменении входных сигналов, либо при постоянстве входных сигналов, но при наличии начальных условий по х, отличающихся от равновесных. При этом каждая координата системы претерпевает некоторые изменения. Характер этих изменений в линейном случае полностью определяется свойствами матриц, описывающих систему.
Если система является асимптотически устойчивой, как об этом говорилось в разд. 3.6, то переходные процессы по всем координатам, вызванные при неизменных условиях среды отклонениями некоторых координат х от стационарного состояния (5.50), с течением времени затухают, и переменные возвращаются к этому состоянию. Устойчивость системы зависит исключительно от вида матрицы А. Динамическая система асимптотически устойчива, если все собственные числа матрицы А имеют отрицательные действительные части.
Пример 5.5.1. Система дыхательного хемостата Гродинза описывается уравнениями (5.42). Имеем характеристическое уравнение
det [ЯЯ — А] — X (Я + а) — Ь = 0,
откуда 2 = -j- (— а ± л/а2 + 4б). Пусть, например, а = 1, b = —1. Тогда
матрица системы имеет два комплексных собственных числа с отрицательной
действительной частью, равной —2 = у (— 1 ±/ V^")- В этом случае
система устойчива. В других случаях суждение об устойчивости или неустойчивости можно получить на основе табл. 3.1. В зависимости от значений а и b в матрице А система дыхательного хемостата может оказаться как устойчивой, так и неустойчивой.
Обычно при исследовании реальных объектов, в том числе и живых систем, приходится иметь дело с их нелинейными моделями. Если в таком случае возникает необходимость исследования устойчивости, то часто совершается переход к линейному случаю.
В теории динамических систем сформулированы условия, при которых возможен переход от нелинейной системы к линеаризованному описанию — задача исследования устойчивости по первому приближению.
Пусть система описывается дифференциальными уравнениями
&=>F(x,t), (5.58)
где х = [хи ..., хпу, a F(x) = [/i(x, t)...Ы-М)]т> причем fi — дифферен-
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed