Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
П 0]П 3 21__Г1 • I + 0 • 5 1-3 + 0-1 1-2 + 0- 11 Г1 3 21
L0 1J L 5 1 1J — L0 • I + 1 - 5 0-3+Ы 0 • 2 + 1 • IJ 1.5 1 1J'
При умножении матрицы произвольной размерности на скалярный (не векторный) множитель k каждый элемент матрицы умножается на величину k.
Определители. Определителем квадратной матрицы А(пхп) называется число, равное сумме п\ членов вида (—1 )г axkta2k2 ... ankfi, каждый из которых соответствует одному из различных упорядоченных множеств k\, k2, ..., kn, полученных г попарными перестановками элементов 1, 2........п Число
п есть порядок определителя.
Для квадратной матрицы Л размерности (2 X 2)
Имееь
1 0 .0 I
Л =
[Оц <312-]
Д21 ^22J
(5 16)
определитель равен а\\а22—021012- Определитель любой матрицы Л(„хп) обозначается как det Л, или |Л|.
Определители квадратных матриц большей размерности вычисляются путем их сведения к определителям матриц (2 X 2) с помощью метода Лапласа. Этот метод заключается в следующем. Если в определителе |Л| п-го порядка вычеркнуть i-ю строку и /-й столбец, оставшиеся (п— 1) строк и столбцов образуют определитель (п— 1)-го порядка. Обозначим его Этот определитель называется минором элемента аИ. Так, минор элемента ап в определителе третьего порядка
Яц a 12 л 13 равен | ЛТ121 = ац агз
= Й21 а22 0.23 Оз1 0.33
Я31 а32 Язз
Минор элемента а„, взятый со знаком плюс, если (i + /) четно, и со знаком минус, если (г + /) нечетно, называется алгебраическим дополнением элемента ач и обозначается через С,,:
Сг/ = (-1)1+/|М(/|. (5.17)
Алгебраическое дополнение элемента а 12 в предыдущем при-мере есть
^12 = ( ^3|аз1 азз = (а21а33 а31а2э) = а31а23 — а21^зз.
Метод Лапласа состоит в том, что определитель произвола ного порядка раскладывается по элементам любой строки или столбца. Например, для определителей третьего порядка разложение по элементам первой строки дает
I A I = ОцСц + 012^12 + 013С13, по элементам третьего столбца —
| А | = ai3Ci3 + 023^23 ~Ь Я33С33.
Определитель четвертого порядка сначала сводится к определителям третьего порядка, а затем — к определителям второго порядка. Аналогично вычисляются определители и высших порядков при л > 2
Таким образом, при разложении по /-му столбцу имеем формулу
П
I Л | = 2 av/Cv/, (5.18)
V = 1
а по й-й строке — формулу
\А\ =Еа^. (5.19)
U-1
Пусть дана матрица
Г1 0 ~21
Л = 12 з о|. (5.20)
Вычислим определитель |Л| разложением, например, по элементам второго столбца:
det Л = 0 + 3 • (+1) • | J + 2 ' (—1)
II -2
2 0
Определитель удобно раскладывать по тем строкам или столбцам, где имеется много нулевых элементов. Существуют и другие способы вычисления определителей, на которых мы не останавливаемся (см., например, [66]).
Обратная матрица. Если Л — квадратная матрица, Сц — алгебраическое дополнение а,/, то матрица, образованная из алгебраических дополнений Сц, называется присоединенной с Л и обозначается Adj Л:
Adj Л = [ад. (5.21)
Обратите внимание на порядок следования индексов в формуле — матрица [С/,] является транспонированной для матрицы, составленной из Сц.
Найдем для примера присоединенную матрицу с матрицей (5.20). Имеем Сц = 3, С12 = —2, С13 = 1, С21 = —4, С22 —_ 3, С23 = —2, С31 = 6, С за = —4, С33 = 3. Следовательно,
Adj А = [С/г] = ?—2 _з -jj. (5.22)
Если квадратная матрица Л имеет определитель det Л, не равный нулю, то для нее можно построить обратную матрицу.
Матрица А~1 называется обратной матрицей матрице А в том случае, если умножение матрицы Л на А~1 справа или слева дает единичную матрицу:
АА~1 = А~1А = Е. (5.23)
Обратная матрица вычисляется по простой формуле
а~1==Ч^Гам^А- <5-24)
Умножение на обратную матрицу аналогично операции деления обычных чисел, или скаляров; как нельзя делить на нуль, так нельзя построить обратную матрицу для матрицы, у которой определитель равен нулю.
Матрица Л, у которой det Л = 0, называется особенной. Обратная матрица существует для всех неособенных матриц.
Найдем матрицу, обратную матрице А из (5.20). Имеем
det Л = 1. Следовательно, Л-1 = d"j-jAdj Л = Adj Л, и Л-1 определяется соотношением (5.22).
Проверим, чему равно произведение АА~и. из (5.20) и (5.22) получаем
Г1 0 — 2-1 Г 3 —4 6"| ГЗ—2 —4+4 6—6 Т
2 3 0 -2 3 -4 = 6-6 -8+9 12-12 I =
Ll 2 lJL 1 -2 3J L3+4-I -4+6-2 6- 8+3J
3-
[1 О 0-
