Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть орган потребляет кислород с темпом а>, а целью управления будем считать обеспечение поступления кислорода с тем же темпом. Тогда темп поступления у кислорода является выходом объекта. Разность между темпами потребления и поступления, накапливаясь, дает напряжение кислорода в тканях
1
х = J (У — w) dt + х0, (3.19)
о
где х0 — исходное значение концентрации кислорода (при t = 0), У —объем тканевого резервуара.
Уравнение регулятора (3.19) можно записать в виде
х = -у(у ~ v>)- (3.20)
Объект описывается уравнением
y = k(v — x), (3.21)
где k — коэффициент, v — напряжение кислорода в среде, окружающей рассматриваемый тканевый резервуар.
Принцип обратной связи получил чрезвычайно широкое распространение при методологическом [1, 43, 112, 128, 137, 156] и математическом описании биологических систем и явлений на всех уровнях организации жизни и в свое время был признан ведущим принципом саморегуляции и самоуправления в живой природе [5, 33, 122, 154, 159, 226, 320]. Почти во всех случаях применение идеи обратной связи проходило через этап использования простейшей одноконтурной модели отрицательной обратной связи по отклонению от уставки. Так, на организменном уровне этот принцип был использован для моделирования практически всех сколько-нибудь важных систем — дыхания [60, 301 и др.], кровообращения [6, 83, 105, 107, 157, 214, 355, 367 и др.], терморегуляции [74, 79, 84, 309, 361, 362 и др.], водно-солевого обмена [305, 330 и др.], энергообразования [63, 243 и др.], системы сахара крови [13, 70, 225, 261]. Этим же принципом руководствуются при рассмотрении процессов старения [118, 227], лечения заболеваний [14, 155, 183, 199, 262] и при разработке систем управления искусственными органами (см., например, [35, 50, 113, 252, 311]). Принцип обратной связи был использован и для объяснения протекания эволюционного процесса [54, 242, 248], хотя, насколько известно автору, математических моделей в форме простой отрицательной обратной связи разработано не было. Математический анализ эволюционного процесса пошел по другому пути (см., например, [170, 186а, 255]).
Возвращаясь к вопросу о формах обратной связи и их использовании в моделях биологических процессов и явлений, нельзя не отметить, что многие критические замечания в адрес математических методов исследования сложных явлений в живых системах по существу относились, да и относятся не столько к принципиальным вопросам возможности и необходимости использования этих методов, сколько к конкретным формам ич проявления, и прежде всего к использованию излишне упрощенных способов описания сложных форм организации живой природы — таких, как простейшая модель отрицательной обратной связи по отклонению от уставки.
3.5. Устойчивость
В теории управления исследование устойчивости относится к следующей ситуации. Сначала на систему действует некоторое возмущение, нарушающее равновесие в ней. Затем это возмущение снимается, перестает действовать. Однако в системе уже возникло некоторое неравновесное состояние. Это состояние представляет собой начальные условия для свободного движе-ния системы — процесса регулирования. Если после достаточно малого возмущения в системе восстанавливается тот же режим, который поддерживался в системе до начала действия возмущения, процесс называется сходящимся или устойчивым, в противном случае — неустойчивым.
Строгое определение устойчивости дается обычно следующим образом.
Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений
*t = U (ХЬ х2, • • •. хп), /=1, (3.22)
dfi
где функции fi таковы, что производные —, ;, ? = 1, 2, ..., п, сущест-
axk
вуют и непрерывны, и пусть фi(t), / = 1, 2, ..., п, — решение этой системы, удовлетворяющее при t = to условиям
Ф( (*0) = фI / = 1,2.......п. (3.23)
Решение фг(/) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого е > 0 можно указать такое 6(e) > 0, что для всякого решения xt(t), начальные условия хI которого удовлетворяют неравенствам
|*«-Ф«| <6(е), (3.24)
для всех t ^ to справедливы неравенства
I xi (0 — Фг (0 | < в, /=1,2,..., п. (3.25)
Это означает, что решения, близкие по своим начальным значениям, остаются близкими и в дальнейшем.
Если при сколь угодно малом б > 0 хотя бы для одного решения xt_ это
неравенство не выполняется, то решение ф<(/), / = 1, 2......п, называется
неустойчивым.
Если решение фi(t) не только устойчиво, но дополнительно удовлетворяет условиям
lim | X: (/) — Ф. (О | = 0, /=1,2,..., я, (3.26)
t-*oО
