Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
при | JC; — ф; | < б, то решение ф,(/) называется асимптотически устойчивым.
В популярном изложении иногда говорят, что устойчивые процессы, не обладающие, однако, свойством асимптотической устойчивости, находятся на грани устойчивости [179].
Наиболее просто понятие устойчивости для линейной системы с постоянными параметрами. Если корни ее характеристиче-
ского уравнения лежат в левой полуплоскости (см. разд. 5.5), то все процессы, независимо от величины начальных отклонений, вызванных внешними воздействиями, оказываются устойчивыми. Тогда и сама система называется устойчивой.
Для нелинейных систем устойчивость поведения — понятие более сложное. Движения в нелинейной системе могут быть устойчивыми в одной области изменения переменных и неустойчивыми— в другой. Поэтому для нелинейного случая рассматривают не устойчивость системы, а устойчивость движений или траекторий.
Удобным способом наглядного изображения движений является метод фазового пространства. Описание этого способа на примерах простых биосистем имеется в работе [179]. Суть метода заключается в следующем. Рассматривается пространство, координатами в котором являются фазовые переменные системы Х\, х2, ..., хт в соответствии с приведенным в разд. 3.2 определением. Задание текущих величин фазовых координат определяет в этом пространстве некоторую точку Р — изображающую точку. При изменении фазовых координат во времени изображающая точка описывает в фазовом пространстве траекторию, по виду которой морно судить о свойствах системы. Наиболее удобен этот метод для исследования систем второго порядка, когда фазовых координат всего две, и фазовое пространство превращается в фазовую плоскость. Рассмотрим этот случай подробнее.
Линейная система второго порядка описывается уравнением х + 2?ю* + со2* = 0. (3.27)
Пусть сначала g = 0. Введем переменные x\ = x(t), х2 = х. (/) и перепишем (3.27) в виде
х2 + со2*! = 0. (3.28)
Для исследования системы методом фазовой плоскости надо построить графическую зависимость, связывающую переменные
и х2. Найдем связь между Х\ и х2 следующим образом. Умножим первое слагаемое (3.28) на х2, а второе — на равное ему х\\
х2х2 + a>2xixi = 0 (3.29)
или
¦?[4-+%*?]-»• <мо>
Проинтегрировав (3.30), находим искомое соотношение между Xi и х2:
х\ + аРх] = с2. (3.31)
Это — уравнение эллипса. Ряд решений при различных значениях с, соответствующих разным начальным значениям х\ и Хг, показан на рис. 3.10. Совокупность траекторий в плоскости (jci, х2) образует фазовый портрет системы.
Время служит параметром при движении вдоль траектории; рост времени соответствует движению по часовой стрелке; ^з > h > h- Это ясно из того, что при х^ > 0 (т. е. при > 0) величина х\ должна возрастать.
Аналогично можно построить фазовые портреты для системы (3.27) и при произвольных | и со. В зависимости от знака и величины ? и со в линейных системах существует несколько типов особых точек; по характеру фазового портрета можно судить об устойчивости системы — эти данные можно представить в виде табл. 3.1.
Фазовые портреты системы второго порядка приводятся во многих книгах, например, в [66, 179].
Та блица 3.1
Рис. ЗЛО. Пример фазовой плоскости для простой линейной системы второго порядка*
Значения параметров
№ Величина ? Знак при Особые точки Свойства системы
п/п О)"5
1 О + Центр Устойчива, но не
II асимптотически
2 0<1 < 1 Устойчивый фокус Устойчива асимптоти
чески
3 --- 1 < ? < о + Неустойчивый фокус Неустойчива
4 Кб + Устойчивый узел Устойчива асимптоти
чески
5 tfr* + Неустойчивый узел Неустойчива
А
1
6 1 = 0 --- Седловая точка Неустойчива
7 1=1 --- Устойчивая седловая Устойчива асимптоти
точка чески
8 6 = -1 --- Неустойчивая седловая Неустойчива
точка Устойчива асимптоти
9 ?со>0 со2 = 0 Нет чески
10 |со < 0 м2 = 0 Нет Неустойчива
Пример 3 5.1 Система двух взаимодействующих видов описывается классической моделью Вольтерра. Пусть, например, в проточном культиваторе
