Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
решение которого при нулевых начальных условиях имеет вид
*(0 = (t>--y)[l-e~~']. (3.45)
Пусть нас интересует чувствительность переменной х к изменениям внешней среды. Вычислим функцию чувствительности (3.42). Дифференцируя, например, (3.45) по параметру V, получаем
д x(t) ~'V~i
-ЗГ—1-е • <3‘46>
График этой функции чувствительности приведен на рис. 3.14.
Чтобы аналитически построить функции чувствительности в системах управления, надо решать так называемые уравнения чувствительности, имеющие для случая (3.38) следующий
вид:
du d ( дх\ df df /0
= J7U + Ж' (3-47)
Это линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, решение которых практически нецелесообразно из-за большой сложности. Поэтому в теории управления разработан ряд методов получения функций чувствительности без решения уравнений чувствительности ([46], часть И,
[207]).
Для исследования биологических систем сам вид функции чувствительности может оказаться несущественным, достаточно лишь знать ее основные характеристики, такие как время затухания или установившееся значение. Так, на рис. 3.14 время затухания функции чувствительности составляет от 3 до 5 постоянных времени, равных У/й; установившееся значение равно 1.
Особую роль при исследовании зависимости биосистем от условий внешней среды играет установившееся значение функций чувствительности. Оно определяет сдвиги стационарного режима системы при стационарном изменении условий внешней среды.
Пусть х — стационарное значение внутренней переменной системы, Ах — его изменение при изменившихся условиях среды, и пусть возмущающее действие среды описывается ступенчатым изменением возмущающего входа v на величину До. Тогда стационарное состояние системы смещается на величину Дх:
Ax=^-Av, (3.48)
д х
где -дг-= Hm u(t)— коэффициент передачи от внешнего входа —
av t->0о
возмущающего сигнала v — к переменной х. Ниже частную про-дх
изводную , определяющую изменение стационарного значения переменной х при стационарном изменении входа v, мы будем называть статическим коэффициентом чувствительности или просто коэффициентом чувствительности х к v и обозначать символом ст.
Для получения коэффициентов чувствительности в устойчивой системе достаточно рассмотреть только стационарные режимы.
Рис. 3.14. Функция чувствительности для системы регуляции темпа поступления кислорода, показанной на рис. 3.9, б.
Продолжим рассмотрение предыдущего примера. Коэффициент чувствительности можно получить из (3.46):
дх дх (t)
= lim
Одиако проще рассмотреть непосредственно стационарный режим системы. В таком режиме темп поступления вещества равен темру его утилизации, w = у. Поэтому из (3.20) и (3.21) имеем для стационарного режима
w дх ,
x=v-T, откуда ^-1.
В этом рассмотрении мы представили зависимость переменной х в стационарном режиме от входа v как предел функции чувствительности (3.42) при t-> оо. При анализе биологических систем, однако, можно воспользоваться и другой терминологией, рассматривая в общем случае передачу сигнала от входа V/ к пе-
дх.
ременной хи Тогда можно величину считать коэффициентом передачи от входа системы Vj к переменной да. Суть дела при таком рассмотрении не меняется. Ниже мы будем пользоваться терминолбгией чувствительности, поскольку при исследовании гомеостатических свойств систем это позволяет сохранить буквальную формулировку гомеостаза, принятую при описании физиологических систем и других биологических систем организменного уровня (см. также разд. 8.1 и 7.4).
Важность исследования чувствительности для биологических систем объясняется тем, что такая постановка задачи близка по смыслу к задачам анализа сохранительных характеристик живых систем, зависимости переменных их внутренней среды от внешних условий. В настоящее время можно указать целый ряд работ, в которых исследуется чувствительность биосистем. Одно из направлений таких поисков связано с определением факторов, оказывающих наибольшее влияние на те или иные выходные сигналы системы. Цель подобных работ обычно заключается в том, чтобы выбрать наиболее эффективные управляющие переменные (например, для управления процессом теплообмена в системе жизнеобеспечения в космосе [126]), в оценке качества управления в системе (например, чувствительность процессов в сердечно-сосудистой системе человека и животных [106, 246, 268, 342], чувствительность процессов фармакокинетики [365], управление в ферментных системах [310]), или, наконец, в том, чтобы решать вопросы прогнозирования поведения физиологических систем [323]. При таком подходе о качестве системы можно судить только после упорядочения функций чувствительности, организации способа оценки степени влияния параметров системы на ее состояние. Одним
