Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
типов графических представлений системы. Если в схеме отображаются лишь основные структурные связи между некоторыми переменными, дающие представление о характере связей в системе, то такая схема называется блок-схемой системы. При изображении блок-схемы можно не придерживаться каких-либо строго установленных обозначений для отдельных элементов и узлов. Наиболее приемлемыми символами блок-схемы можно считать изображение отдельных частей схемы в виде прямоугольников произвольного размера с указанием операций, выполняемых данным узлом [42]. Вообще говоря, в этом случае
можно ограничиваться и словесным описанием функций, выполняемых блоком. Степень детализации элементов блок-схемы может быть различной, что определяется только точкой зрения исследователя.
Схема моделирования является строгим графическим отражением уравнений системы. Символы, используемые для отдельных элементов, должны быгь стандартизированы, а все элементы структуры должны i меть один и тот же уровень детализации. Обычно при построении схем моделирования исходят из описания систем в нормальной форме Коши и используют набор стандартных обозначений элементов, показанный на рис. 3.2. Схема моделирования строится следующим образом: каждой фазовой координате ставится в соответствие один интегрирующий элемент (интегратор), а затем с помощью стандартных символов графически изображаются связи между интеграторами согласно правым частям уравнений (3.5). В различных областях, где применяются схемы моделирования, формулируется ряд специфических требований, более жестко регламентирующих способы изображения систем (см., например, [42, 228]). Мы этих требований придерживаться не будем. В наших схемах мы будем использовать, в основном, элементы, приведенные в первом столбце рис. 3.2, хотя будем применять обозначение интегратора в любой из двух возможных форм — в виде прямоугольника или в виде треугольника.
Пр им ер 3.2.1. Изобразим блок-схему и схему моделирования для простой динамической системы. Возьмем описание элемента кровеносного сосуда в форме так называемого эластичного резервуара [253]. Пусть переменная х описывает количество крови, находящееся в данном отрезке сосуда — резервуаре. Тогда
х = w — у, (3.7)
где w и у — темп притока и темп оттока крови для данного резервуара, соответственно. Будем считать приток крови независимым внешним сигналом. Темп оттока прежде всего зависит от давления в резервуаре, которое определяется соотношением
р = 7Т (х ~ (3-8)
где Р — давление в резервуаре, С — коэффициент, определяющий эластичность кровеносного сосуда (емкость), а — константа, так называемый ненапряженный объем резервуара, т. е. такой объем крови, который может
содержаться в резервуаре без повышения давления Р. Тогда темп оттока
равен
y=-jf(P-b), (3.9)
где R — сопротивление сосуда току крови, Ь — константа, равная давлению в следующем резервуаре, куда оттекает кровь.
Система описывается тремя уравнениями (3.7) — (3.9). Чтобы привести описание системы к форме Коши, в нашем случае достаточно подставить
JLa.1l RC R
еЧ1>
а)
е)
Рис. 3.3. Примеры блок-схемы системы и схем моделирования. Изображение системы в виде блок-схемы позволяет использовать произвольные символы с разной степенью детализации (а). В схемах моделирования применяется изображение элементов только с помощью стандартных символов; на рис. б) и в) показаны два возможных варианта схем моделирования эластичного ^еа^рвуара для системы кровообращения.
выражения (3.8) и (3.9) в (3.7). Тогда получаем
1 , ь
x==w ~~RC(X~ +“?~- (3-10)
Один из возможных вариантов блок-схемы и два варианта схем моделирования эластичного резервуара приведены на рис. 3.3.
3.3. Линейные системы и линеаризация
Система называется линейной, если для нее справедлив принцип суперпозиции: если у (vk) — реакция системы на воздействие Vk, то
у{ Z ckv Л = X cky (о*) (3.11)
\k=i J к=i
при любых I, Cl, ..., Cl И При любых функциях Ul(0. •••, Vi((). В задачах биокибернетики линейные системы часто описываются дифференциальными уравнениями вида
г I п
У i = Z аИУ! + Z bivVv + ? CinWn, i'=l, 2, ..., Г, (3.12)
/¦= 1 V=1 |i=l
где сигналы у, v и w имеют тот же смысл, что и на рис. 3.1, и являются переменными описываемой системы. Коэффициенты Qi/, Ь^, с,|л — параметры системы.
Уравнение (3.12) описывает, вообще говоря, только один частный, хотя и наиболее распространенный тип линейных систем. В общем случае среди систем, удовлетворяющих принципу суперпозиции, можно кроме систем (3.12) назвать линейные дискретные системы, линейные системы с запаздыванием и т. д. [46].
