Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Q (х, w, и, 0=niin. (4.1)
Функционал — это величина, значение которой зависит от вида некоторых функций. В формуле (4.1) величина Q зависит от функций x(t), w(t), u(t) и времени t, где х — m-мерный вектор, описывающий состояние системы, w — /-мерный вектор, определяющий входные сигналы, которые система должна воспроизводить или преобразовывать заранее заданным образом, и — r-мерный вектор, элементы которого описывают управляющие сигналы в системе. Если на управляющие воздействия и наложены ограничения, например, задана область их допустимых изменений, то минимум в (4.1) ищется при ограничении
и е ?2„. (4.2)
Пример 4.1.1. В предыдущих примерах мы старались обращаться к тематике, связанной с биосистемами. Здесь мы, однако, выбираем пример технической систёмы. Дело в том, что для биологических объектов формулировка перечисленных выше условий 1)—5) (предоставление информации о задаче управления) сама по себе связана с большими трудностями, как об этом говорится ниже в этой главе.
Возьмем в качестве объекта управления двигатель постоянного тока, уравнение которого имеет вид
Xi + kiXi = k2 u — v,
(4.о)
Xt = Xu
где Х\ — скорость вращения двигателя вала, х2 — угловое перемещение вала, и — управляющий сигнал (напряжение, подводимое к якорю двигателя), у — возмущение (нагрузка на вал), ku k2— постоянные коэффициенты. Таким образом, требование 1) выполнено — уравнения обьекта заданы.
Информация о среде состоит в том, что нагрузка v в процессе управления не меняется, v = const.
Цель управления заключается в том, что неподвижный двигатель надо повернуть на некоторый угол и остановить; исходное положение двигателя Х\ = О, х2 — *21, конечное состояние должно быть xi = 0, х2 — ^22-
Показатель качества процесса управления — время Т, за которое достигается заданное конечное состояние. Следовательно, в оптимальной системе должно быть обеспечено минимальное время переходного процесса (оптимальное быстродействие системы): Т — Tml„.
Ограничения могут быть заданы, например, в виде предельной величины напряжения, которую можно подавать на якорь двигателя: |и| ^ ытах.
Ухудшение качества оптимальной по быстродействию системы при отсутствии полной информации об объекте и среде можно проиллюстрировать на рассмотренном примере. Если при
расчетах величина ограничения ытах определена неверно, то процесс будет идти дольше по сравнению с тем оптимальным процессом, который можно было бы осуществить в системе при точно известных значениях ограничений. Будем считать, что процесс окончен, когда в достигнутом состоянии значение координаты Х2 отличается от желаемого на 10%.
Тогда относительное удлинение времени переходного процесса в зависимости от ошибки при определении ограничивающего значения итз% можно проиллюстрировать графиком на рис. 4.1. График построен для примера 4.1.1 при k\ = 0.
Оптимальные системы содержат сложные решающие вычислительные устройства, реализующие оптимальный закон управления — зависимость
«опт (0 = ФИО, *), 0(0, 0) (4.4)
оптимального управления в момент времени t от измеряемых в этот же момент времени значений всех переменных системы хи Х2, ..., хт и возмущений Vu v2, . . •, Vi и их «предыстории» на интервале времени от начала управления до текущего момента времени: Xi(0,t),
О/(0,0-
Интерес к оптимальным системам в теории управления возник в результате работ А. А. Фельдбаума [218]. Позже был разработан и общий метод синтеза оптимальных систем управления— принцип максимума Л. С. Понтрягина [162, 240].
4.2. Адаптация
В последние годы терминология и основные идеи теории оптимальных систем в технике начали широко использоваться при анализе биологических систем. Оптимальные процессы управления, оптимальные конструкции и характеристики организмов, наконец, оптимальные методы эксплуатации природных объектов и систем — эти понятия пришли в биологические науки из технических дисциплин. Так, идея оптимальной конструкции биосистем организменного уровня целиком базируется на представлениях об оптимальности, заимствованных из теории
/ 2 J 4 5 6
U-1
^тлах
Рис. 4.1. Ухудшение качества оптимальной системы при отсутствии полной информации о системе и среде. При расчете оптимальной по быстродействию системы было принято, что на ее вход можно подавать максимально допустимый сигнал j и \—щ\ фактически на вход поступает сигнал, равный не uv a umax. Оптимальное быстродействие достигается, очевидно, только при
