Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
растут два вида — бактерии и их враги (вирусы). Вирусы играют роль хищника, бактерии — жертвы. Если обозначить через X, численность хищников в некоторых единицах, а через Х2 — численность жертв, то система описывается уравнениями
A\=X,(Xt-d), X2 = X2(l -Xt-d).
(3.32)
Параметр d характеризует скорость протока в культиваторе. Прн больших скоростях протока (d > 1) вне зависимости от исходных значений Xt и Х2 происходит вымывание обеих культур; при d <С 1 в система происходят незатухающие колебания численностей обоих видов с амплитудой, определяемой начальными условиями [180].
Фазовая плоскость с координатами Xh Х2 для системы (3.32) показана на рис. 3.11. При малых d фазовые траектории замыкаются вокруг особой точки Х\ = 1 — d, Х\ = d— центра (рис. 3.11, а). При больших d траектории стягиваются к точке Xt = Х2 = 0 — устойчивому узлу (рис. 3.11,6).
; d
1-d-
в)
Рис. З.П Фазовые портреты для системы, состоящей нз двух взаимодействующих популяций в культиваторе, а) Фазовый портрет системы Вольтерра — при малых отклонениях от особой точки график совпадает с фазовым портретом на рис. 3.I0; б) устойчивые траектории при большом протоке через культизатор; в), г) при малых вариациях модели Вольтерра (учет слабо влияющих факторов) фазовый портрет, показанный на рис. а), в окрестности особой точки приобретает вид либо устойчивого фокуса (в), либо неустойчивого фокуса (г), Оси координат на двух последних рисунках отсутствуют, так как масштабы
графиков увеличены.
Траектории б — устойчивы, так как любое отклонение от равновесной точки (0, 0) с течением времени исчезает.
Траектории а устойчивы неасимптотически, но малые изменения параметров системы превращают центр либо в устойчивый (рис. З.П, в), либо в неустойчивый (рис. З.П, г) фокус.
Покажем, как это происходит, исследовав поведение линеаризованной системы в окрестности особой точки. Линеаризуем исходную нелинейную систему (3.32), положив
Х\ — — -Yj, х2 == Х2 — Х^у
(3.33)
где Х| = 1 — d, X?, — d. Тогда вместо (3.32) получаем
хI = (1 — d) x2 = —dx 1, (3.34)
или
iit + dil — d)xx = 0. (3.35)
Это уравнение можно записать в виде (3.27), где g = 0, ю2 = d( 1 —d). Система находится на границе устойчивости (строка 1 в табл. 3.1).
Стоит, однако, учесть какие-либо слабые зависимости в исходной нелинейной системе, как в линеаризованном уравнении (3.35) появится член с хи н система будет соответствовать либо строке 2 (рис. 3.11, в), либо строке 3 (рис. 3.11, г) в табл. 3.1. Такая ситуация возникает, например, если предположить, что взаимодействие хищник — жертва подчиняется закону Моно (скорость размножения хищника пропорциональна концентрации жертвы при малых концентрациях, при больших концентрациях скорость размножения хищника не зависит от концентрации жертвы). Получающийся в этом случае фазовый портрет показан на рис. 3.11, г.
Тогда система вместо уравнения (3.32) описывается уравнением
Х,=-^~~- dX
XX {3‘36)
х2 = х2(1 -«о-тфтг
Вводя новые переменные
*,=Xi— Xj, х2 = Хг-Х°2 и линеаризуя затем правые части (3.36) в окрестности особой точки
kd
X? = k, X?
l _ j _ d , получаем уравнения, описывающие движение системы в окрестности особой точки,
*i = — (! — d) *2,
хг = —dx 1 + 2 (1 — d) хг
или
х\ — d (1 — d) *i — d (1 — d)2 xi = 0. (3.37)
Поскольку положительные значения концентрации X® возможны только прн 0 <С d < 1, видим, что в (3.37) значения коэффициентов | и ш2 всегда отвечают строке 3 табл. 3.1, т. е. особая точка представляет собой неустойчивый фокус.
3.6. Чувствительность
Чувствительность системы в теории управления — свойство системы изменять свой режим и характеристики поведения при изменении какого-либо параметра. Чем больше меняется режим системы при изменении какого-либо параметра, тем более чувствительна система к его изменениям [36]. Чувствительностью называют иногда также и показатель, количественно характеризующий это свойство.
Задача исследования чувствительности ставится в теории управления в следующих условиях. Задается некоторая система, называемая исходной. В этой системе происходит изменение (вариация) некоторых параметров; измененная система называется варьированной системой. Процессы в исходной и варьированной системах, возникающие в ответ на действие одного и того же входного сигнала, различаются между собой; их разность называется дополнительным движением.
Таким образом, ситуации, в которых проявляются устойчивость и чувствительность, отличаются тем, что при исследовании устойчивости возмущение, вызвавшее отклонение движения, сразу же снимается и исследуется свободное движение системы. В задаче исследования чувствительности действие возмущающего фактора — изменившегося значения параметра внешнего сигнала—продолжается постоянно (рис. 3.12).
