Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Все живые системы в своих проявлениях обладают нелинейными свойствами, когда принцип суперпозиции нарушается. Наиболее частым видом нелинейности является насыщение (рис. 3.4), когда в определенном диапазоне изменений входного
X,
т)
а)
Рис. 3.4. Насыщение в биологической системе, а) Переменная Х\ в системе действует на другую переменную, X2; б) реакция п^оеменной Х2 нелинейна и обладает свойством насыщения. При различных значениях X] одно и то же приращение Х\ (вертикальные пунктирные линии) приводит к разным приращениям (горизонтальные пунктирные линии); е) коэффициент передачи от к обозначенный через k, отличен от нуля только в ограниченной области изменений X , обозначенной Q. За пределами области Q влияние Х\ на х% отсутствует: эффективная связь от Х{ к X* разрывается, исчезает.
сигнала Xi элемента системы имеется четко выраженная зависимость выходного сигнала Х2 от входного, а за пределами этого диапазона выходной сигнал попадает в область насыщения и перестает изменяться. Часто в некотором диапазоне изменений сигнала Хь например в окрестности точки Х° на рис. 3.4, зависимость Х2 = [(Х[) почти не отличается от линейной; в этом малом диапазоне исходная зависимость может быть линеаризована:
x2 = kxu (3.13)
где X], х2— приращения сигналов Xi и Х2, отсчитываемые от некоторой точки (Xi, A'°), в которой производится линеаризация, а k — угол наклона кривой f(Xi) в этой точке. Если провести линеаризацию последовательно во всех точках, то окажется, что величина k в каждой из точек различна; зависимость коэффициента k от положения точки линеаризации приведена на рис. 3.4, в.
Здесь и далее переменные в исходной нелинейной системе обозначаются прописными буквами, переменные в линеаризованной системе — строчными.
Часто приходится линеаризовать зависимости от двух или большего числа переменных. Например, биомасса в единице объема есть произведение числа особей на массу отдельной
особи; темп поступления кислорода в орган с кровью равен произведению объемного кровотока в единицу времени на количество кислорода, извлекаемого из единицы объема крови
а) 6)
Рис. 3.5. Линеаризация произведения двух величии. После линеаризации нелинейный элемент— множитель (а) —заменяется линейным элементом —сумматором входных сигналов с соответствующими коэффициентами {б).
и т. д. В обоих случаях при рассмотрении небольших вариаций приходится линеаризовать произведение
Хй=кХхХ2. (3.14)
На рис. 3.5 показано, как это делается: приращения всех сигналов относительно исходных значений Х°, Х2, Х$ связаны соотношением
x3 = klx1 + k2x2, (3.15)
причем k\ = kX2, k2 —kX°\.
Подробнее о нелинейности и линеаризации рассказывается в гл. 3 учебника [130], предназначенного для специалистов-био-логов. Мы еще раз вернемся к этому вопросу в разд. 5.3.
3.4. Обратная связь
Передача сигнала в системе в направлении от входа к выходу называется прямой связью. Обратной связью называется любая передача сигналов в обратном направлении, т. е. от выхода системы к входу (рис. 3.6, а). В сложных системах может возникнуть ситуация, когда та или иная связь между двумя переменными может трактоваться как прямая (идущая в направлении от входа к выходу) или обратная (рис. 3.6,6). Это зависит от того, влияние какого входа на какой выход или на какую внутреннюю переменную рассматривается. Поэтому при исследовании сложных систем, имеющих множество входов и выходов, такие термины, как «положительная» или «отрицательная» обратная связь, обычно не употребляются.
Однако не надо думать, что термин «обратная связь» по мере перехода к исследованию все более и более сложных систем полностью исчезнет. Нет, это понятие по-прежнему используется и будет использоваться при описании простых систем,
имеющих относительно небольшое число переменных, например, одноконтурных систем.
Понятие отрицательной обратной связи удобно для понимания и качественного осмысливания процессов в биологических
а)
б)
Рис. 3.6. Обратная связь и сложная структура системы, а) В простой системе с одним входом и одним выходом понятие обратной связи оказывается очень полезным: выделив прямой канал acd, можно указать обратную связь fb, б) в сложной системе с несколькими входами и выходами некоторая связь может рассматриваться как прямая или как обратная в зависимости от того, какие вчоты и выходы берутся в качестзе основных. Элемент d играет роль прямой связи для капала aefl и обратной {cd)— для канала bgkh.
системах; успешное применение этого понятия связано с необходимостью выделения из сложной системы относительно простых элементарных подсистем. Однако, вычленяя из системы ее отдельные компоненты и рассматривая их порознь, мы фактически теряем возможность исследовать целостный объект.
Пожалуй, наиболее распространенным видом обратной связи в биосистемах является так называемая параметрическая обратная связь (рис. 3.7). Здесь в прямом канале от входа V\ к выходу Х\ имеется параметр k, который может меняться под действием некоторой переменной Лг> т. е. h = k(X2). Тогда увеличение (или уменьшение) входного сигнала V\ сначала по прямому каналу вызывает увеличение (или уменьшение) Ль но затем переменная Л2, изменившись под действием Ль приведет к противоположно направленному изменению k (соответственно, к его уменьшению или увеличению). Эффект действия такой отрицательной связи — уменьшение изменения переменной Х\ при действии входа V\.
